Страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какая сфера называется описанной около цилиндра?

2. Какой цилиндр называется вписанным в сферу?

3. Всегда ли около цилиндра можно описать сферу?

4. Какая сфера называется вписанной в цилиндр?

5. Какой цилиндр называется описанным в сферу?

6. В какой цилиндр можно вписать сферу?

7. Какая сфера называется описанной около конуса?

8. Какой конус называется вписанным в сферу?

9. Всегда ли около конуса можно описать сферу?

10. Какая сфера называется вписанной в конус?

11. Какой конус называется описанным около сферы?

12. Всегда ли конус можно вписать в сферу?

1. Какая сфера называется описанной около цилиндра?
Сфера называется описанной около цилиндра, если она проходит через обе окружности оснований цилиндра. Это означает, что все точки на окружностях верхнего и нижнего оснований цилиндра лежат на поверхности сферы. Центр такой сферы находится на середине оси цилиндра.
Ответ: Сфера, на поверхности которой лежат окружности оснований цилиндра.

2. Какой цилиндр называется вписанным в сферу?
Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности его оснований лежат на поверхности этой сферы. Это обратное определение к сфере, описанной около цилиндра. Другими словами, если сфера описана около цилиндра, то цилиндр вписан в эту сферу.
Ответ: Цилиндр, окружности оснований которого лежат на поверхности сферы.

3. Всегда ли около цилиндра можно описать сферу?
Да, всегда. Для любого цилиндра можно найти единственную описанную сферу. Её центр будет совпадать с серединой отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра (то есть, с серединой оси цилиндра). Радиус описанной сферы $R$ можно вычислить по теореме Пифагора, зная радиус основания цилиндра $r$ и его высоту $h$: $R^2 = r^2 + (h/2)^2$. Поскольку для любого цилиндра $r > 0$ и $h > 0$, всегда существует положительное значение для радиуса $R$.
Ответ: Да, всегда.

4. Какая сфера называется вписанной в цилиндр?
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Точками касания с основаниями являются их центры. Касание с боковой поверхностью происходит по окружности большого круга сферы, плоскость которого параллельна основаниям цилиндра и проходит через его центр.
Ответ: Сфера, касающаяся обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности.

5. Какой цилиндр называется описанным около сферы?
Цилиндр называется описанным около сферы, если его основания и боковая поверхность касаются сферы. Это обратное определение к сфере, вписанной в цилиндр. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр описан около этой сферы.
Ответ: Цилиндр, основания и боковая поверхность которого касаются сферы.

6. В какой цилиндр можно вписать сферу?
Вписать сферу можно не в любой цилиндр, а только в тот, у которого высота равна диаметру основания. Такой цилиндр называется равносторонним. Условие возможности вписать сферу следующее: высота цилиндра $h$ должна быть равна диаметру вписанной сферы, а радиус основания цилиндра $r$ должен быть равен радиусу этой же сферы. Отсюда следует, что $h = 2r$. Осевым сечением такого цилиндра является квадрат.
Ответ: В равносторонний цилиндр, у которого высота равна диаметру основания ($h = 2r$).

7. Какая сфера называется описанной около конуса?
Сфера называется описанной около конуса, если вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности этой сферы. Центр такой сферы лежит на оси конуса.
Ответ: Сфера, на поверхности которой лежат вершина конуса и окружность его основания.

8. Какой конус называется вписанным в сферу?
Конус называется вписанным в сферу, если его вершина и окружность его основания лежат на поверхности этой сферы. Это обратное определение к сфере, описанной около конуса.
Ответ: Конус, вершина и окружность основания которого лежат на поверхности сферы.

9. Всегда ли около конуса можно описать сферу?
Да, всегда. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Осевое сечение описанной сферы — это большая окружность. Задача сводится к тому, чтобы описать окружность около этого равнобедренного треугольника. Так как около любого треугольника можно описать единственную окружность, то и около любого конуса можно описать единственную сферу. Ее центр будет являться центром окружности, описанной около осевого сечения конуса, и будет лежать на оси конуса.
Ответ: Да, всегда.

10. Какая сфера называется вписанной в конус?
Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса в его центре и боковой поверхности конуса. Касание боковой поверхности происходит по окружности, лежащей в плоскости, параллельной основанию конуса.
Ответ: Сфера, касающаяся основания конуса и его боковой поверхности.

11. Какой конус называется описанным около сферы?
Конус называется описанным около сферы, если его основание и боковая поверхность касаются сферы. Это обратное определение к сфере, вписанной в конус. В такой конус всегда можно вписать сферу. Осевое сечение такого конуса представляет собой равнобедренный треугольник, описанный около большой окружности сферы.
Ответ: Конус, основание и боковая поверхность которого касаются сферы.

12. Всегда ли конус можно вписать в сферу?
Да, всегда. Этот вопрос по сути является аналогом вопроса 9. Утверждение "около конуса можно описать сферу" равносильно утверждению "конус можно вписать в сферу". Для любого конуса существует единственная сфера, проходящая через его вершину и окружность основания.
Ответ: Да, всегда.