Страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Основания равнобедренной трапеции равны 2 см и 4 см, а боковые стороны равны 3 см. Найдите площадь поверхности вращения этой трапеции, вокруг прямой, проходящей через середины оснований:

A) $8\pi \text{ см}^2$;

B) $10\pi \text{ см}^2$;

C) $12\pi \text{ см}^2$;

D) $14\pi \text{ см}^2$.

При вращении равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины её оснований, образуется тело вращения, которое представляет собой усеченный конус. Площадь полной поверхности этого тела складывается из площадей двух его оснований (кругов) и площади его боковой поверхности.

По условию задачи, основания трапеции равны 2 см и 4 см, а боковая сторона — 3 см.

1. Находим радиусы оснований усеченного конуса.
Радиусы оснований конуса равны половинам длин оснований трапеции.
Радиус меньшего основания: $r_1 = \frac{2}{2} = 1$ см.
Радиус большего основания: $r_2 = \frac{4}{2} = 2$ см.

2. Находим площади оснований.
Площадь меньшего основания (круга): $S_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².
Площадь большего основания (круга): $S_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см².

3. Находим площадь боковой поверхности.
Боковая сторона трапеции является образующей ($l$) усеченного конуса, поэтому $l = 3$ см.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$.
Подставляем наши значения: $S_{бок} = \pi(1 + 2) \cdot 3 = \pi \cdot 3 \cdot 3 = 9\pi$ см².

4. Находим полную площадь поверхности вращения.
Полная площадь поверхности равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:
$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} = \pi + 4\pi + 9\pi = 14\pi$ см².

Ответ: $14\pi$ см².

13. Шар радиусом 2 см пересечен плоскостью, отстоящей от центра шара на 1 см. Найдите площадь круга, получившегося в сечении:

А) $ \pi \text{ см}^2 $;

В) $ 2\pi \text{ см}^2 $;

С) $ 3\pi \text{ см}^2 $;

D) $ 4\pi \text{ см}^2 $.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение шара, проходящее через центр шара и перпендикулярное к секущей плоскости. В этом сечении мы получим большой круг шара и хорду, которая является диаметром круга, образованного секущей плоскостью.

Радиус шара $R$, расстояние от центра шара до плоскости $d$ и радиус круга в сечении $r$ образуют прямоугольный треугольник, где:

• гипотенуза – это радиус шара $R = 2$ см;
• один катет – это расстояние от центра шара до плоскости $d = 1$ см;
• второй катет – это радиус круга в сечении $r$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$R^2 = d^2 + r^2$

Подставим известные значения, чтобы найти радиус $r$ круга в сечении:

$2^2 = 1^2 + r^2$

$4 = 1 + r^2$

$r^2 = 4 - 1$

$r^2 = 3$

Теперь найдем площадь круга, получившегося в сечении, по формуле $S = \pi r^2$. Нам не нужно находить сам радиус $r$, так как для формулы площади достаточно знать его квадрат $r^2$.

$S = \pi \cdot 3 = 3\pi$ см²

Этот результат соответствует варианту C).

Ответ: C) $3\pi$ см².

14. Наименьшее и наибольшее расстояние от данной точки, расположенной внутри сферы, до точек сферы равны соответственно 4 см и 6 см. Найдите радиус сферы:

A) 2 см;

B) 4 см;

C) 5 см;

D) 10 см.

Пусть $R$ — это искомый радиус сферы, а $d$ — расстояние от центра сферы до данной точки, расположенной внутри нее.

Наименьшее и наибольшее расстояния от внутренней точки до точек на сфере всегда лежат на прямой, которая проходит через эту точку и центр сферы.

Наименьшее расстояние ($d_{min}$) от точки до сферы равно разности между радиусом и расстоянием от центра до этой точки. Это можно записать формулой: $d_{min} = R - d$.

Наибольшее расстояние ($d_{max}$) от точки до сферы равно сумме радиуса и расстояния от центра до этой точки. Формула для этого: $d_{max} = R + d$.

Из условия задачи известны значения этих расстояний:
$d_{min} = 4$ см
$d_{max} = 6$ см

Подставим известные значения в формулы, чтобы получить систему из двух линейных уравнений:
$R - d = 4$
$R + d = 6$

Чтобы найти радиус $R$, можно сложить эти два уравнения. Это позволит исключить переменную $d$:
$(R - d) + (R + d) = 4 + 6$
$2R = 10$
$R = \frac{10}{2}$
$R = 5$ см

Таким образом, радиус сферы равен 5 см.

Ответ: C) 5 см;

15. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите радиус описанной сферы:

А) 5 см; В) 6 см; С) 8 см; D) 10 см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D$. По условию, стороны этого прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Сфера, описанная вокруг цилиндра, — это сфера, которая касается обоих оснований цилиндра, а её центр совпадает с центром симметрии цилиндра (серединой его оси). Диаметр такой сферы равен диагонали осевого сечения цилиндра.

Обозначим стороны прямоугольника осевого сечения как $a=6$ см и $b=8$ см. Найдем его диагональ $d$ по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + b^2$

Подставив значения, получим:

$d^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$d = \sqrt{100} = 10$ см.

Диагональ осевого сечения равна 10 см, следовательно, диаметр описанной сферы также равен 10 см. Радиус $R$ описанной сферы равен половине ее диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

16. Найдите радиус сферы, вписанной в конус, осевым сечением которого является правильный треугольник со стороной равной 2 см:

A) $1 \text{ см}$;

B) $\sqrt{2} \text{ см}$;

C) $\frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$;

D) $\frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}.

Задача заключается в нахождении радиуса сферы, вписанной в конус. Осевое сечение такого конуса представляет собой равносторонний треугольник, а сечение вписанной сферы — это окружность, вписанная в этот треугольник. Следовательно, радиус вписанной сферы равен радиусу окружности, вписанной в равносторонний треугольник, который является осевым сечением конуса.

По условию, осевое сечение — это правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 2$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник, можно найти по формуле, связывающей его с высотой треугольника $h$. Центр вписанной окружности в равностороннем треугольнике является точкой пересечения его медиан, биссектрис и высот. Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус вписанной окружности составляет одну треть от высоты треугольника.

1. Найдем высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a=2$ см по формуле:$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$Подставим значение $a$:$h = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

2. Теперь найдем радиус $r$ вписанной окружности, который равен $\frac{1}{3}$ высоты $h$:$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Таким образом, радиус сферы, вписанной в конус, равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см. Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: D) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

17. Найдите площадь сферы радиусом 2 см:

А) $12\pi \text{ см}^2;$

В) $14\pi \text{ см}^2;$

С) $16\pi \text{ см}^2;$

D) $18\pi \text{ см}^2.$

Для нахождения площади поверхности сферы используется формула $S = 4 \pi R^2$, где $S$ – это площадь поверхности, а $R$ – радиус сферы.

Согласно условию задачи, радиус сферы равен $R = 2$ см.

Подставим данное значение радиуса в формулу и выполним вычисления:
$S = 4 \pi \cdot (2)^2 = 4 \pi \cdot 4 = 16\pi$ см$^2$.

Полученный результат $16\pi$ см$^2$ соответствует варианту ответа C).
Ответ: C) $16\pi$ см$^2$.

18. Найдите площадь сферы, вписанной в единичный куб:

A) $\frac{\pi}{2}$ см$^2$;

B) $\pi$ см$^2$;

C) $2\pi$ см$^2$;

D) $3\pi$ см$^2$.

Единичный куб — это куб, длина ребра которого равна 1. Обозначим длину ребра куба как $a$. Учитывая единицы измерения в вариантах ответа, принимаем $a = 1 \text{ см}$.

Сфера, вписанная в куб, — это сфера, которая касается всех шести граней куба изнутри. Это возможно только в том случае, если диаметр сферы $d$ равен длине ребра куба $a$.
$d = a = 1 \text{ см}$.

Радиус сферы $r$ составляет половину её диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} \text{ см}$.

Площадь поверхности сферы $S$ находится по формуле:
$S = 4\pi r^2$.

Подставим в эту формулу найденное значение радиуса $r = \frac{1}{2} \text{ см}$ для вычисления площади:
$S = 4\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4\pi \cdot \frac{1}{4} = \pi$.

Следовательно, площадь сферы, вписанной в единичный куб, равна $\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $\pi \text{ см}^2$.

19. Найдите площадь сферы, описанной около единичного куба.

A) $\pi \text{ см}^2$;

B) $2\pi \text{ см}^2$;

C) $3\pi \text{ см}^2$;

D) $4\pi \text{ см}^2$.

Для нахождения площади сферы, описанной около куба, необходимо сначала найти ее радиус. Диаметр сферы, описанной около куба, равен главной диагонали этого куба.

Единичный куб — это куб, длина ребра которого равна 1. Пусть длина ребра куба $a = 1$ см.

Найдем длину главной диагонали куба ($d$). По теореме Пифагора для трех измерений, квадрат главной диагонали равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Для куба все они равны $a$. $d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$ Следовательно, длина главной диагонали: $d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Подставив значение $a = 1$ см, получим: $d = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Диаметр описанной сферы $D$ равен главной диагонали куба $d$, поэтому $D = \sqrt{3}$ см. Радиус сферы $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Площадь поверхности сферы $S$ вычисляется по формуле: $S = 4\pi R^2$.

Подставим в формулу найденное значение радиуса $R$: $S = 4\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4\pi \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = 4\pi \cdot \frac{3}{4}$.

Сокращая множитель 4, получаем итоговый результат: $S = 3\pi$ см².

Ответ: $3\pi$ см².

20. Радиусы двух шаров относятся как $2 : 3$. Найдите отношение их площадей поверхностей.

A) $2 : 3$;

B) $4 : 6$;

C) $6 : 9$;

D) $4 : 9$.

Пусть радиусы двух шаров равны $r_1$ и $r_2$. Согласно условию задачи, их отношение составляет 2 к 3. Это можно записать в виде пропорции:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$

Формула для вычисления площади поверхности шара $S$ с радиусом $r$ имеет вид:
$S = 4\pi r^2$

Тогда площади поверхностей первого и второго шаров будут соответственно:
$S_1 = 4\pi r_1^2$
$S_2 = 4\pi r_2^2$

Чтобы найти отношение площадей поверхностей, разделим площадь первого шара на площадь второго:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2}$

В этом выражении можно сократить общий множитель $4\pi$:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$

Теперь подставим известное отношение радиусов $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$ в полученную формулу:
$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

Следовательно, отношение площадей поверхностей двух шаров равно 4 : 9.
Ответ: D) 4 : 9.