Номер 12, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Основания равнобедренной трапеции равны 2 см и 4 см, а боковые стороны равны 3 см. Найдите площадь поверхности вращения этой трапеции, вокруг прямой, проходящей через середины оснований:

A) $8\pi \text{ см}^2$;

B) $10\pi \text{ см}^2$;

C) $12\pi \text{ см}^2$;

D) $14\pi \text{ см}^2$.

При вращении равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины её оснований, образуется тело вращения, которое представляет собой усеченный конус. Площадь полной поверхности этого тела складывается из площадей двух его оснований (кругов) и площади его боковой поверхности.

По условию задачи, основания трапеции равны 2 см и 4 см, а боковая сторона — 3 см.

1. Находим радиусы оснований усеченного конуса.
Радиусы оснований конуса равны половинам длин оснований трапеции.
Радиус меньшего основания: $r_1 = \frac{2}{2} = 1$ см.
Радиус большего основания: $r_2 = \frac{4}{2} = 2$ см.

2. Находим площади оснований.
Площадь меньшего основания (круга): $S_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².
Площадь большего основания (круга): $S_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см².

3. Находим площадь боковой поверхности.
Боковая сторона трапеции является образующей ($l$) усеченного конуса, поэтому $l = 3$ см.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$.
Подставляем наши значения: $S_{бок} = \pi(1 + 2) \cdot 3 = \pi \cdot 3 \cdot 3 = 9\pi$ см².

4. Находим полную площадь поверхности вращения.
Полная площадь поверхности равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:
$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} = \pi + 4\pi + 9\pi = 14\pi$ см².

Ответ: $14\pi$ см².