Номер 11, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Радиус большего основания усеченного конуса равен 2 см. Найдите радиус меньшего основания этого усеченного конуса:

A) 1 см;

B) $\sqrt{2}$ см;

C) $(2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ см;

D) $(2 - \sqrt{2})$ см.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, у которой основаниями служат диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами — его образующие.

Обозначим длину образующей как $L$, радиус большего основания как $R$, и радиус меньшего основания как $r$. Согласно условию, $L = 2$ см, $R = 2$ см, а угол наклона образующей к плоскости основания составляет $45^\circ$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции на ее большее основание. В результате мы получим прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенуза — это образующая $L$, один из катетов — это высота усеченного конуса $H$, а второй катет равен разности радиусов оснований, то есть $R - r$. Угол между образующей (гипотенузой) и разностью радиусов (катетом) как раз и является углом наклона образующей к основанию, то есть $45^\circ$.

Используя соотношения в прямоугольном треугольнике, мы можем выразить катет $R - r$ через гипотенузу $L$ и прилежащий угол:$R - r = L \cdot \cos(45^\circ)$

Подставим в это уравнение известные нам значения:$2 - r = 2 \cdot \cos(45^\circ)$

Поскольку значение косинуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:$2 - r = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$2 - r = \sqrt{2}$

Из этого уравнения находим радиус меньшего основания $r$:$r = 2 - \sqrt{2}$ см.

Ответ: D) $(2 - \sqrt{2})$ см.