Страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, получающегося вращением правильной треугольной призмы, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, вокруг прямой содержащей боковое ребро:

A) $2\pi \text{ см}^2$;

B) $3\pi \text{ см}^2$;

C) $4\pi \text{ см}^2$;

D) $6\pi \text{ см}^2$.

Телом вращения, которое получается при вращении правильной треугольной призмы вокруг прямой, содержащей ее боковое ребро, является цилиндр. Высота этого цилиндра $H$ будет равна длине бокового ребра призмы, а радиус его основания $R$ будет равен стороне основания призмы.

Рассмотрим основание призмы — это правильный (равносторонний) треугольник. Ось вращения проходит через одну из его вершин. Две другие вершины находятся на расстоянии, равном стороне треугольника, от оси вращения. При вращении они описывают окружность, которая и будет являться основанием цилиндра. Таким образом, радиус основания цилиндра $R$ равен стороне основания призмы.

Согласно условию задачи:

• Сторона основания призмы $a = 1$ см. Следовательно, радиус цилиндра $R = 1$ см.
• Боковое ребро призмы равно 2 см. Следовательно, высота цилиндра $H = 2$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi R H$

Подставим значения $R$ и $H$ в формулу:

$S_{бок} = 2 \pi \cdot 1 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 4\pi \text{ см}^2$

Этот результат соответствует варианту C).

Ответ: $4\pi \text{ см}^2$.

4. Радиус основания конуса равен 6 см, образующая равна 10 см.

Найдите высоту конуса:

A) 6 см;

B) $3\sqrt{2}$ см;

C) $6\sqrt{2}$ см;

D) 8 см.

Высота конуса ($h$), радиус его основания ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике образующая ($l$) является гипотенузой, а высота ($h$) и радиус ($r$) — катетами.

Согласно теореме Пифагора, их длины связаны соотношением: $l^2 = r^2 + h^2$.

Чтобы найти высоту $h$, выразим ее из этой формулы: $h = \sqrt{l^2 - r^2}$.

Подставим в формулу известные значения из условия задачи: радиус $r = 6$ см и образующая $l = 10$ см.
$h = \sqrt{10^2 - 6^2}$
$h = \sqrt{100 - 36}$
$h = \sqrt{64}$
$h = 8$ см.

Ответ: 8 см.

5. Образующая конуса равна 6 см и наклонена к плоскости основания под углом $45^{\circ}$. Найдите радиус основания этого конуса:

А) 3 см; B) $3\sqrt{2}$ см; C) $3\sqrt{3}$ см; D) 6 см.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Высота конуса ($h$), проведенная из его вершины к центру основания, делит этот треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенузой является образующая конуса ($l$), а катетами — радиус основания ($r$) и высота конуса ($h$).

Согласно условию, длина образующей $l = 6$ см. Угол наклона образующей к плоскости основания составляет $45^\circ$. В нашем прямоугольном треугольнике этот угол ($\alpha$) находится между гипотенузой $l$ и катетом $r$. Итак, $\alpha = 45^\circ$.

Способ 1: Через тригонометрические функции

Радиус основания $r$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$. Связь между прилежащим катетом, гипотенузой и углом в прямоугольном треугольнике определяется через косинус:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{l}$

Выразим из этой формулы радиус $r$:

$r = l \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения: $l = 6$ см и $\alpha = 45^\circ$.

$r = 6 \cdot \cos(45^\circ)$

Так как значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$r = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Способ 2: Через свойства равнобедренного прямоугольного треугольника

Так как рассматриваемый треугольник прямоугольный и один из его острых углов равен $45^\circ$, то второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник является равнобедренным, и его катеты равны друг другу: $r = h$.

Применим теорему Пифагора $r^2 + h^2 = l^2$.

Заменив $h$ на $r$, получим:

$r^2 + r^2 = l^2$

$2r^2 = 6^2$

$2r^2 = 36$

$r^2 = \frac{36}{2} = 18$

$r = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Оба способа решения приводят к одинаковому результату. Полученный радиус $3\sqrt{2}$ см соответствует варианту ответа B).

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

6. Найдите площадь поверхности конуса, радиус основания которого равен 2 см, а образующая равна 3 см:

А) $6\pi$ $см^2$;

В) $8\pi$ $см^2$;

С) $10\pi$ $см^2$;

D) $12\pi$ $см^2$.

Площадь полной поверхности конуса складывается из площади его основания и площади боковой поверхности. Формула для вычисления площади полной поверхности конуса выглядит следующим образом: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.
Площадь основания конуса, которое является кругом, вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ — это радиус основания.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — это радиус основания, а $l$ — длина образующей.
Таким образом, формула для нахождения площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$.
В условии задачи даны следующие значения:
Радиус основания $r = 2$ см.
Образующая $l = 3$ см.
Подставим эти значения в формулу:
$S_{полн} = \pi \cdot 2 \cdot (2 + 3)$
$S_{полн} = \pi \cdot 2 \cdot 5$
$S_{полн} = 10\pi$ см².
Этот результат соответствует варианту C.
Ответ: 10π см².

7. Радиус основания конуса равен 2 см. Через середину высоты этого конуса проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения:

A) $\pi \text{ см}^2$; B) $2\pi \text{ см}^2$; C) $3\pi \text{ см}^2$; D) $4\pi \text{ см}^2$.

Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него меньший конус, подобный исходному. Осевое сечение исходного конуса представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $H$ и радиусом основания $R$. Осевое сечение малого конуса также является равнобедренным треугольником с высотой $h$ и радиусом основания $r$.

По условию, секущая плоскость проведена через середину высоты исходного конуса. Это означает, что высота малого конуса $h$ в два раза меньше высоты большого конуса $H$:

$h = \frac{H}{2}$

Так как малый конус подобен большому, отношение их линейных размеров (в частности, радиусов оснований и высот) одинаково. Это отношение называется коэффициентом подобия $k$:

$k = \frac{h}{H} = \frac{r}{R}$

Подставив соотношение высот, найдем коэффициент подобия:

$k = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Теперь мы можем найти радиус $r$ сечения, зная радиус основания исходного конуса $R = 2$ см:

$\frac{r}{R} = \frac{1}{2} \implies r = \frac{R}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Получившееся сечение является кругом с радиусом $r = 1$ см. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

Вычислим площадь сечения:

$S = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = 1\pi \text{ см}^2 = \pi$ см².

Ответ: А) $\pi$ см²

8. Найдите площадь поверхности конуса, получающегося вращением равнобедренного треугольника, основание которого равно 2 см, а боковая сторона равна 4 см, вокруг прямой, содержащей его высоту, опущенную на основание:

A) $2\pi \text{ см}^2$;

B) $3\pi \text{ см}^2$;

C) $5\pi \text{ см}^2$;

D) $6\pi \text{ см}^2$.

8. Конус, получающийся в результате вращения равнобедренного треугольника вокруг его высоты, опущенной на основание, имеет следующие параметры:
- Образующая конуса ($L$) равна боковой стороне треугольника.
- Радиус основания конуса ($r$) равен половине длины основания треугольника.

Исходя из условий задачи:
- Боковая сторона треугольника равна 4 см, значит, образующая конуса $L = 4$ см.
- Основание треугольника равно 2 см, значит, радиус основания конуса $r = \frac{2}{2} = 1$ см.

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) складывается из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).
Формула для вычисления площади полной поверхности конуса:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r L$

Подставим известные значения $r = 1$ см и $L = 4$ см в формулу:
$S_{полн} = \pi \cdot (1)^2 + \pi \cdot 1 \cdot 4$
$S_{полн} = \pi \cdot 1 + 4\pi$
$S_{полн} = \pi + 4\pi = 5\pi \text{ см}^2$.

Полученный результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) $5\pi$ см$^2$.

9. Найдите площадь боковой поверхности конуса, получающегося вращением правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2 см, а боковые ребра равны 3 см, вокруг прямой, содержащей ее высоту:

A) $2\pi \text{ см}^2$;

B) $3\pi \text{ см}^2$;

C) $4\pi \text{ см}^2$;

D) $6\pi \text{ см}^2$.

При вращении правильной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту, образуется конус. Чтобы найти площадь боковой поверхности этого конуса, необходимо определить его образующую ($l$) и радиус основания ($R$).

Образующая конуса ($l$) равна боковому ребру пирамиды. По условию, длина бокового ребра составляет 3 см, следовательно, $l = 3$ см.

Радиус основания конуса ($R$) равен радиусу окружности, описанной вокруг основания пирамиды. Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной 2 см. Известно, что в правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен длине его стороны. Таким образом, $R = 2$ см.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) находится по формуле $S_{бок} = \pi R l$.

Подставим найденные значения $R$ и $l$ в формулу:

$S_{бок} = \pi \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 6\pi \text{ см}^2$.

Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: D) $6\pi \text{ см}^2$.

10. Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 1 см, высота равна 4 см. Найдите образующую усеченного конуса:

A) 3 см; B) 4 см; C) 5 см; D) 6 см.

Для нахождения образующей усеченного конуса ($l$) используется формула, связывающая её с высотой ($h$) и радиусами оснований (большим $R$ и меньшим $r$). Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое является равнобедренной трапецией. В этой трапеции можно выделить прямоугольный треугольник, где гипотенузой является образующая $l$, а катетами — высота $h$ и разность радиусов $R-r$. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

В соответствии с условиями задачи:
$R = 4$ см
$r = 1$ см
$h = 4$ см

Подставим эти значения в формулу:
$l^2 = 4^2 + (4 - 1)^2$
$l^2 = 4^2 + 3^2$
$l^2 = 16 + 9$
$l^2 = 25$
$l = \sqrt{25}$
$l = 5$ см

Следовательно, длина образующей усеченного конуса составляет 5 см. Этот результат соответствует варианту C).
Ответ: C) 5 см.

11. Образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Радиус большего основания усеченного конуса равен 2 см. Найдите радиус меньшего основания этого усеченного конуса:

A) 1 см;

B) $\sqrt{2}$ см;

C) $(2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ см;

D) $(2 - \sqrt{2})$ см.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, у которой основаниями служат диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами — его образующие.

Обозначим длину образующей как $L$, радиус большего основания как $R$, и радиус меньшего основания как $r$. Согласно условию, $L = 2$ см, $R = 2$ см, а угол наклона образующей к плоскости основания составляет $45^\circ$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции на ее большее основание. В результате мы получим прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенуза — это образующая $L$, один из катетов — это высота усеченного конуса $H$, а второй катет равен разности радиусов оснований, то есть $R - r$. Угол между образующей (гипотенузой) и разностью радиусов (катетом) как раз и является углом наклона образующей к основанию, то есть $45^\circ$.

Используя соотношения в прямоугольном треугольнике, мы можем выразить катет $R - r$ через гипотенузу $L$ и прилежащий угол:$R - r = L \cdot \cos(45^\circ)$

Подставим в это уравнение известные нам значения:$2 - r = 2 \cdot \cos(45^\circ)$

Поскольку значение косинуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:$2 - r = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$2 - r = \sqrt{2}$

Из этого уравнения находим радиус меньшего основания $r$:$r = 2 - \sqrt{2}$ см.

Ответ: D) $(2 - \sqrt{2})$ см.