Страница 75 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что площади поверхностей двух подобных многогранников относятся как $k^2$.

Проверьте, что площади поверхностей двух подобных шаров относятся как $k^2$.

Проверьте, что объемы двух подобных прямоугольных параллелепипедов относятся как $k^3$.

Докажите, что площади поверхностей двух подобных многогранников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Пусть даны два подобных многогранника $M_1$ и $M_2$ с коэффициентом подобия $k$. Это означает, что все соответствующие линейные размеры многогранника $M_2$ в $k$ раз больше соответствующих размеров многогранника $M_1$. Поверхность каждого многогранника состоит из граней, которые являются многоугольниками. Так как многогранники подобны, их соответствующие грани ($F_{1i}$ и $F_{2i}$) также являются подобными многоугольниками с тем же коэффициентом подобия $k$.

Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, для каждой пары соответствующих граней с площадями $S_{1i}$ и $S_{2i}$ выполняется соотношение: $\frac{S_{2i}}{S_{1i}} = k^2$, или $S_{2i} = k^2 \cdot S_{1i}$.

Площадь полной поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней. Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади поверхностей многогранников $M_1$ и $M_2$ соответственно. Тогда $S_1 = \sum S_{1i}$ и $S_2 = \sum S_{2i}$. Подставим соотношение для площадей граней в формулу для $S_2$:

$S_2 = \sum S_{2i} = \sum (k^2 \cdot S_{1i}) = k^2 \cdot (\sum S_{1i}) = k^2 \cdot S_1$.

Таким образом, отношение площадей поверхностей $\frac{S_2}{S_1} = k^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отношение площадей поверхностей подобных многогранников равно квадрату коэффициента подобия.

Проверьте, что площади поверхностей двух подобных шаров относятся как квадрат коэффициента подобия.

Любые два шара подобны. Коэффициентом подобия двух шаров является отношение их радиусов. Пусть даны два шара с радиусами $R_1$ и $R_2$. Коэффициент подобия $k = \frac{R_2}{R_1}$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Площадь поверхности первого шара равна $S_1 = 4\pi R_1^2$. Площадь поверхности второго шара равна $S_2 = 4\pi R_2^2$.

Найдем отношение площадей их поверхностей:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2} = \frac{R_2^2}{R_1^2} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2$.

Так как $k = \frac{R_2}{R_1}$, мы получаем, что $\frac{S_2}{S_1} = k^2$.

Ответ: Проверка подтверждает, что площади поверхностей двух подобных шаров относятся как квадрат коэффициента подобия.

Проверьте, что объемы двух подобных прямоугольных параллелепипедов относятся как куб коэффициента подобия.

Пусть даны два подобных прямоугольных параллелепипеда $P_1$ и $P_2$. Пусть измерения (длина, ширина, высота) параллелепипеда $P_1$ равны $a_1, b_1, c_1$. Поскольку параллелепипеды подобны с коэффициентом подобия $k$, их соответствующие измерения равны $a_2 = k \cdot a_1$, $b_2 = k \cdot b_1$, $c_2 = k \cdot c_1$.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Объем первого параллелепипеда: $V_1 = a_1 b_1 c_1$. Объем второго параллелепипеда: $V_2 = a_2 b_2 c_2 = (k a_1)(k b_1)(k c_1) = k^3 a_1 b_1 c_1$.

Найдем отношение их объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{k^3 a_1 b_1 c_1}{a_1 b_1 c_1} = k^3$.

Ответ: Проверка подтверждает, что объемы двух подобных прямоугольных параллелепипедов относятся как куб коэффициента подобия.

Вопросы

1. Какой величине аналогичен объем?

2. Что принимается за единицу измерения объема?

3. Перечислите свойства объема.

4. Какие фигуры в пространстве называются равновеликими?

5. Какое преобразование пространства называется подобием?

6. Какие фигуры в пространстве называются подобными?

7. Как связаны между собой объемы подобных фигур?

8. Приведите примеры подобных пространственных фигур.

1. Какой величине аналогичен объем?
Объем — это численная характеристика пространства, занимаемого телом. В геометрии объем трехмерного тела является прямым аналогом площади для двумерной фигуры. Подобно тому, как площадь измеряет, какую часть плоскости занимает фигура, объем измеряет, какую часть пространства занимает тело.
Ответ: Объем аналогичен площади на плоскости.

2. Что принимается за единицу измерения объема?
За единицу измерения объема принимается объем куба, длина ребра которого равна одной единице длины (например, 1 метр, 1 сантиметр и т.д.). Такой куб называется единичным кубом. Соответственно, единицами измерения объема являются кубический метр ($м^3$), кубический сантиметр ($см^3$) и другие.
Ответ: За единицу измерения объема принимается объем единичного куба.

3. Перечислите свойства объема.
Объем как величина обладает следующими основными свойствами:
1. Неотрицательность: объем любого геометрического тела является неотрицательным числом ($V \ge 0$).
2. Инвариантность: равные (конгруэнтные) тела имеют равные объемы. То есть, если тело перемещать или поворачивать в пространстве, его объем не изменится.
3. Аддитивность: если тело можно разбить на несколько тел, которые не имеют общих внутренних точек, то объем всего тела равен сумме объемов его частей. Например, если тело $T$ состоит из тел $T_1$ и $T_2$, то $V(T) = V(T_1) + V(T_2)$.
4. Нормированность: объем единичного куба (куба с ребром, равным единице длины) равен единице.
Ответ: Основные свойства объема: неотрицательность, инвариантность относительно движений, аддитивность.

4. Какие фигуры в пространстве называются равновеликими?
Две или более фигуры (тела) в пространстве называются равновеликими, если они имеют одинаковый объем. При этом форма этих фигур может быть совершенно различной. Например, шар и куб могут быть равновеликими, если их объемы равны.
Ответ: Равновеликими называются фигуры, имеющие равные объемы.

5. Какое преобразование пространства называется подобием?
Подобием (или преобразованием подобия) с коэффициентом $k > 0$ называется такое преобразование пространства, которое изменяет расстояние между любыми двумя точками в $k$ раз. Если $A$ и $B$ — две произвольные точки пространства, а $A'$ и $B'$ — их образы при преобразовании подобия, то расстояние между ними связано соотношением $|A'B'| = k \cdot |AB|$. Такое преобразование сохраняет углы и пропорции, то есть форму фигур, но изменяет их линейные размеры.
Ответ: Преобразование пространства, при котором расстояния между любыми точками изменяются в одно и то же число раз.

6. Какие фигуры в пространстве называются подобными?
Две фигуры называются подобными, если одна из них может быть получена из другой путем преобразования подобия. Это означает, что фигуры имеют одинаковую форму, но могут отличаться размерами. Все их соответствующие линейные размеры (длины ребер, высоты, радиусы и т.д.) пропорциональны с одним и тем же коэффициентом, который называется коэффициентом подобия.
Ответ: Фигуры, которые переводятся одна в другую преобразованием подобия.

7. Как связаны между собой объемы подобных фигур?
Отношение объемов двух подобных фигур равно кубу коэффициента подобия. Если две фигуры $F_1$ и $F_2$ подобны с коэффициентом подобия $k$, то отношение их объемов $V_1$ и $V_2$ равно $k^3$. Это можно записать в виде формулы: $\frac{V_1}{V_2} = k^3$.
Ответ: Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия.

8. Приведите примеры подобных пространственных фигур.
Примерами фигур, которые всегда подобны друг другу в рамках своего класса, являются:
- Любые два куба.
- Любые два шара.
- Любые два правильных тетраэдра (или любые два правильных многогранника одного и того же вида, например, два икосаэдра).
Примерами фигур, которые могут быть подобны при определенных условиях, являются:
- Два цилиндра, если у них одинаково отношение высоты к радиусу основания.
- Две пирамиды, если у них подобные основания и одинаково отношение высоты к соответствующему линейному размеру основания.
Ответ: Любые два шара; любые два куба.

12.1. Объем куба равен $27 \text{ см}^3$. Найдите площадь его поверхности.

12.1. Объем куба ($V$) с ребром $a$ вычисляется по формуле $V = a^3$. По условию задачи, $V = 27 \text{ см}^3$. Чтобы найти длину ребра куба, извлечем кубический корень из объема: $a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ см}$. Площадь поверхности куба ($S$) состоит из шести одинаковых квадратных граней. Площадь одной грани равна $a^2$. Следовательно, полная площадь поверхности равна $S = 6a^2$. Подставим найденное значение ребра: $S = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54 \text{ см}^2$. Ответ: $54 \text{ см}^2$.

12.1. Объем куба равен $27 \text{ см}^3$. Найдите площадь его поверхности.

12.2. Площадь поверхности куба равна $24 \text{ см}^2$. Найдите его объем.

12.2. Для решения задачи необходимо сначала найти длину ребра куба, а затем, зная ребро, вычислить его объем.

1. Находим длину ребра куба.

Площадь полной поверхности куба ($S$) вычисляется по формуле:

$S = 6a^2$

где $a$ – длина ребра куба.

По условию, $S = 24$ см². Подставим это значение в формулу и найдем $a$:

$24 = 6a^2$

Разделим обе части уравнения на 6:

$a^2 = \frac{24}{6}$

$a^2 = 4$

$a = \sqrt{4} = 2$ см.

Итак, длина ребра куба равна 2 см.

2. Находим объем куба.

Объем куба ($V$) вычисляется по формуле:

$V = a^3$

Подставим найденное значение $a = 2$ см в эту формулу:

$V = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ см³.

Ответ: 8 см³.

12.3. Диагональ куба равна $\sqrt{12}$ см. Найдите его объем.

12.3. Пусть ребро куба равно $a$, а его диагональ — $D$. Связь между ними выражается формулой $D = a\sqrt{3}$, которая следует из теоремы Пифагора, примененной дважды.

По условию задачи, диагональ куба равна $D = \sqrt{12}$ см. Упростим это значение:

$D = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь приравняем два выражения для диагонали, чтобы найти длину ребра $a$:

$a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$, получаем:

$a = 2$ см.

Объем куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$.

Подставим найденное значение ребра куба:

$V = 2^3 = 8$ см³.

Ответ: 8 см³.

12.4. Чему равен объем детали в форме пространственного креста (рис. 12.1), если ребра образующих его кубов равны 1 см?

Рис. 12.1

Для того чтобы найти объем детали, необходимо определить, из скольких единичных кубов она состоит, а затем умножить это количество на объем одного такого куба.

Фигура, изображенная на рисунке 12.1, представляет собой пространственный крест. Посчитаем количество кубов, образующих эту деталь. Фигура состоит из одного центрального куба и пяти кубов, примыкающих к его граням: сверху, снизу, слева, справа и спереди. Таким образом, общее количество кубов равно $1 + 5 = 6$.

Согласно условию, ребро каждого куба равно $a = 1$ см. Объем одного куба вычисляется по формуле $V = a^3$.
Подставляя данное значение, получаем объем одного куба:
$V_{куба} = (1 \text{ см})^3 = 1 \text{ см}^3$.

Общий объем детали равен сумме объемов всех составляющих ее кубов. Поскольку деталь состоит из 6 одинаковых кубов, ее общий объем равен:
$V_{детали} = 6 \times V_{куба} = 6 \times 1 \text{ см}^3 = 6 \text{ см}^3$.

Ответ: $6 \text{ см}^3$.

12.5. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его ребра увеличить в три раза?

12.5. Обозначим начальную длину ребра куба как $a$.

Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина его ребра. Следовательно, первоначальный объем куба $V_1$ равен:

$V_1 = a^3$

По условию задачи, все ребра куба увеличили в три раза. Новая длина ребра стала равна $3a$.

Теперь вычислим новый объем куба $V_2$, подставив в формулу новую длину ребра:

$V_2 = (3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, необходимо найти отношение нового объема $V_2$ к первоначальному объему $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{27a^3}{a^3} = 27$

Таким образом, объем куба увеличится в 27 раз.

Ответ: в 27 раз.