Страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.7. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру (рис. 13.3). В каком отношении эта плоскость делит объем призмы?

Рис. 13.3

Пусть дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ с основаниями $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Обозначим объем этой призмы через $V$, площадь ее основания $S_{ABC}$ через $S$, а высоту через $h$. Тогда объем призмы вычисляется по формуле $V = S \cdot h$.

Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ основания $\triangle ABC$ соответственно. Тогда отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. Согласно условию, через среднюю линию $MN$ проведена плоскость, параллельная боковому ребру (например, $AA_1$). Эта плоскость пересекает верхнее основание $A_1B_1C_1$ по отрезку $M_1N_1$, где $M_1$ и $N_1$ — середины сторон $A_1C_1$ и $B_1C_1$. Сечение представляет собой параллелограмм $MNN_1M_1$.

Данная плоскость делит исходную призму на две части: меньшую треугольную призму $CMNC_1M_1N_1$ (объемом $V_1$) и большую четырехугольную призму $ABNMA_1B_1N_1M_1$ (объемом $V_2$). Обе полученные призмы имеют ту же высоту $h$, что и исходная призма, так как их основания лежат в плоскостях оснований исходной призмы.

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Найдем объемы $V_1$ и $V_2$.
Основанием призмы с объемом $V_1$ является треугольник $CMN$. Так как $MN$ — средняя линия $\triangle ABC$, то $\triangle CMN$ подобен $\triangle CAB$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, поэтому площадь основания $S_1 = S_{CMN}$ составляет:$S_1 = k^2 \cdot S_{CAB} = (\frac{1}{2})^2 \cdot S = \frac{1}{4}S$.
Следовательно, объем меньшей призмы $V_1 = S_1 \cdot h = \frac{1}{4}S \cdot h = \frac{1}{4}V$.

Объем второй, большей части $V_2$ можно найти как разность объемов исходной призмы и меньшей части:$V_2 = V - V_1 = V - \frac{1}{4}V = \frac{3}{4}V$.
Либо можно вычислить его через площадь основания. Основанием большей части является трапеция $ABNM$. Ее площадь $S_2$ равна разности площадей треугольника $ABC$ и треугольника $CMN$:$S_2 = S_{ABNM} = S - S_1 = S - \frac{1}{4}S = \frac{3}{4}S$.
Тогда объем большей призмы $V_2 = S_2 \cdot h = \frac{3}{4}S \cdot h = \frac{3}{4}V$.
Оба способа дают одинаковый результат.

Таким образом, отношение объемов двух частей, на которые секущая плоскость делит исходную призму, равно:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{4}V}{\frac{3}{4}V} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, объемы относятся как $1:3$.

Ответ: $1:3$.

13.8. Объем треугольной призмы равен 12 $см^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы (рис. 13.4).

Рис. 13.4

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

Пусть объем исходной треугольной призмы, назовем ее $P_1$, равен $V_1$. Площадь ее основания (например, треугольника $ABC$) обозначим как $S_1$, а высоту — как $h$. Согласно условию задачи, нам дано:$V_1 = S_1 \cdot h = 12 \, \text{см}^3$.

Теперь рассмотрим новую призму, назовем ее $P_2$. Ее основаниями являются треугольники, вершины которых — середины сторон оснований исходной призмы $P_1$. Это означает, что высота новой призмы $P_2$ совпадает с высотой исходной призмы $P_1$, то есть она также равна $h$.

Основание новой призмы — это треугольник, образованный средними линиями треугольника, являющегося основанием исходной призмы. Обозначим площадь нового основания как $S_2$.

Из курса планиметрии известно, что треугольник, образованный средними линиями другого треугольника, подобен ему. Коэффициент подобия этих треугольников равен $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Следовательно, мы можем найти соотношение между площадями оснований $S_2$ и $S_1$:$ \frac{S_2}{S_1} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $

Отсюда площадь основания новой призмы составляет четверть от площади основания исходной призмы:$ S_2 = \frac{1}{4} S_1 $

Теперь мы можем вычислить объем новой призмы $V_2$:$ V_2 = S_2 \cdot h $

Подставим выражение для $S_2$:$ V_2 = (\frac{1}{4} S_1) \cdot h = \frac{1}{4} (S_1 \cdot h) $

Мы знаем, что $S_1 \cdot h = V_1 = 12 \, \text{см}^3$. Подставим это значение в формулу для $V_2$:$ V_2 = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 \, \text{см}^3 $

Таким образом, объем новой призмы равен $3 \, \text{см}^3$.

Ответ: 3 см³.

13.9. Объем четырехугольной призмы равен $10 \text{ см}^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы (рис. 13.5).

Рис. 13.5

Обозначим объем исходной четырехугольной призмы как $V_{1}$, а площадь ее основания как $S_{1}$. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $h$ — высота призмы. Таким образом, $V_{1} = S_{1} \cdot h$. По условию задачи $V_{1} = 10 \text{ см}^3$.

Найдем объем новой призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы. Обозначим объем новой призмы как $V_{2}$, а площадь ее основания как $S_{2}$. Высота новой призмы совпадает с высотой исходной призмы, так как их основания лежат в одних и тех же параллельных плоскостях. Следовательно, $V_{2} = S_{2} \cdot h$.

Чтобы найти $V_{2}$, нам нужно найти соотношение между площадями оснований $S_{1}$ и $S_{2}$. Отношение объемов двух призм равно отношению площадей их оснований: $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{S_{2} \cdot h}{S_{1} \cdot h} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$

Рассмотрим основание исходной призмы — произвольный четырехугольник $ABCD$. Его площадь равна $S_{1} = S_{ABCD}$. Основанием новой призмы является четырехугольник, вершины которого — середины сторон четырехугольника $ABCD$. Обозначим его $KLMN$. Его площадь равна $S_{2} = S_{KLMN}$.

Площадь четырехугольника $KLMN$ можно найти, вычтя из площади четырехугольника $ABCD$ площади четырех треугольников по углам: $\triangle AKN$, $\triangle BKL$, $\triangle CML$ и $\triangle DMN$, где $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно.

Площадь треугольника $\triangle AKN$ равна: $S_{\triangle AKN} = \frac{1}{2} AK \cdot AN \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}AB) \cdot (\frac{1}{2}AD) \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)) = \frac{1}{4} S_{\triangle ABD}$.

Аналогично для остальных треугольников: $S_{\triangle BKL} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$, $S_{\triangle CML} = \frac{1}{4} S_{\triangle BCD}$, $S_{\triangle DMN} = \frac{1}{4} S_{\triangle CDA}$.

Сумма площадей этих четырех угловых треугольников: $S_{углов} = S_{\triangle AKN} + S_{\triangle BKL} + S_{\triangle CML} + S_{\triangle DMN} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABD} + \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} + \frac{1}{4} S_{\triangle BCD} + \frac{1}{4} S_{\triangle CDA}$. Сгруппируем слагаемые: $S_{углов} = \frac{1}{4} (S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}) + \frac{1}{4} (S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CDA})$. Поскольку $S_{ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}$ и также $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CDA}$, получаем: $S_{углов} = \frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{1}$.

Теперь найдем площадь основания новой призмы $S_{2}$: $S_{2} = S_{KLMN} = S_{ABCD} - S_{углов} = S_{1} - \frac{1}{2} S_{1} = \frac{1}{2} S_{1}$. Таким образом, площадь основания новой призмы в два раза меньше площади основания исходной призмы.

Найдем объем новой призмы $V_{2}$: $V_{2} = S_{2} \cdot h = (\frac{1}{2} S_{1}) \cdot h = \frac{1}{2} (S_{1} \cdot h) = \frac{1}{2} V_{1}$.

Подставим известное значение объема исходной призмы: $V_{2} = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см}^3 = 5 \text{ см}^3$.

Ответ: 5 см³.

13.10. Объем правильной шестиугольной призмы равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы (рис. 13.6).

Рис. 13.6

Пусть $V_1$ и $S_1$ – объем и площадь основания исходной правильной шестиугольной призмы, а $V_2$ и $S_2$ – объем и площадь основания новой призмы. По условию, объем исходной призмы $V_1 = 12 \text{ см}^3$. Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота призмы.

Так как вершины оснований новой призмы являются серединами сторон оснований данной призмы, то высоты обеих призм равны. Обозначим эту высоту как $H$. Тогда отношение объемов призм равно отношению площадей их оснований: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{S_2 \cdot H}{S_1 \cdot H} = \frac{S_2}{S_1}$.

Для нахождения объема $V_2$ необходимо найти отношение площадей оснований $S_2/S_1$. Основания обеих призм являются правильными шестиугольниками. Пусть сторона основания исходного шестиугольника (призма 1) равна $a$. Основание новой призмы (призма 2) — это также правильный шестиугольник, вершины которого являются серединами сторон исходного. Найдем длину стороны $b$ нового шестиугольника.

Рассмотрим треугольник, образованный стороной $b$ нового шестиугольника и двумя отрезками, каждый из которых равен половине стороны исходного шестиугольника ($a/2$). Эти отрезки являются половинами смежных сторон исходного шестиугольника. Угол между ними равен внутреннему углу правильного шестиугольника, который составляет $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$.

По теореме косинусов для этого треугольника:$b^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(120^\circ)$.Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:$b^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot \frac{a^2}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.

Основания призм (правильные шестиугольники) являются подобными фигурами. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия (то есть квадрату отношения их сторон):$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{b}{a})^2 = \frac{b^2}{a^2}$.Подставим найденное значение $b^2$:$\frac{S_2}{S_1} = \frac{3a^2/4}{a^2} = \frac{3}{4}$.

Теперь мы можем вычислить объем новой призмы $V_2$:$V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 12 \text{ см}^3 \cdot \frac{3}{4} = 9 \text{ см}^3$.

Ответ: 9 см³.

13.11. Сформулируйте условия на стороны оснований и боковые ребра двух правильных $n$-угольных призм, при которых эти призмы подобны. Как относятся объемы этих призм?

Условия подобия двух правильных n-угольных призм

Два многогранника называются подобными, если один из них может быть получен из другого преобразованием подобия. Для двух правильных $n$-угольных призм это означает, что все их соответствующие линейные размеры должны быть пропорциональны, а соответствующие двугранные и плоские углы должны быть равны.

Поскольку призмы правильные, их основаниями являются правильные $n$-угольники, а боковые грани — прямоугольники, перпендикулярные основаниям. Это означает, что все соответствующие углы у двух таких призм автоматически равны.

Таким образом, условие подобия сводится к пропорциональности линейных размеров. Основными линейными размерами, определяющими правильную $n$-угольную призму, являются сторона основания ($a$) и боковое ребро (которое равно высоте призмы $h$).

Пусть у первой призмы сторона основания равна $a_1$, а боковое ребро — $h_1$. У второй призмы сторона основания равна $a_2$, а боковое ребро — $h_2$.

Для того чтобы призмы были подобны, отношение сторон их оснований должно быть равно отношению их боковых ребер (высот). Если $k$ — коэффициент подобия, то должно выполняться равенство: $ \frac{a_2}{a_1} = \frac{h_2}{h_1} = k $

Это условие можно записать в ином виде, показав, что отношение стороны основания к высоте должно быть одинаковым для обеих призм: $ \frac{a_1}{h_1} = \frac{a_2}{h_2} $

Ответ: Две правильные $n$-угольные призмы подобны тогда и только тогда, когда отношение стороны основания к боковому ребру у одной призмы равно отношению стороны основания к боковому ребру у другой призмы.

Отношение объемов подобных призм

Отношение объемов двух подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Докажем это для наших призм.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{основания} \cdot h$, где $S_{основания}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Площадь правильного $n$-угольника со стороной $a$ равна $S_{основания} = \frac{na^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}$.

Найдем объемы наших двух призм:
Объем первой призмы: $ V_1 = S_1 \cdot h_1 = \frac{na_1^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})} \cdot h_1 $
Объем второй призмы: $ V_2 = S_2 \cdot h_2 = \frac{na_2^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})} \cdot h_2 $

Теперь найдем отношение их объемов: $ \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{na_2^2 h_2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}}{\frac{na_1^2 h_1}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}} = \frac{a_2^2 h_2}{a_1^2 h_1} = \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^2 \cdot \left(\frac{h_2}{h_1}\right) $

Из условия подобия мы знаем, что коэффициент подобия $k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{h_2}{h_1}$. Подставим это в формулу для отношения объемов: $ \frac{V_2}{V_1} = k^2 \cdot k = k^3 $

Таким образом, отношение объемов двух подобных правильных $n$-угольных призм равно кубу коэффициента подобия.

Ответ: Отношение объемов двух подобных правильных $n$-угольных призм равно кубу отношения их соответствующих линейных размеров (например, кубу отношения сторон оснований или кубу отношения боковых ребер).

13.12 Основание прямой призмы — ромб, площадь которого равна 1 $\text{м}^2$. Площади диагональных сечений равны 3 $\text{м}^2$ и 6 $\text{м}^2$ (рис. 13.7). Найдите объем призмы.

Рис. 13.7

Пусть основание прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — это ромб $ABCD$. Обозначим его диагонали как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$, а высоту призмы — $h$.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания. По условию, площадь ромба $S_{осн} = 1 \text{ м}^2$. Следовательно, для нахождения объема нам достаточно найти высоту призмы $h$, так как $V = 1 \cdot h = h$.

Площадь ромба также выражается через его диагонали: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Подставив известное значение площади, получаем первое уравнение: $\frac{1}{2} d_1 d_2 = 1$, откуда следует, что $d_1 d_2 = 2$.

Диагональные сечения прямой призмы являются прямоугольниками. В нашем случае это сечения $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$. Их площади равны произведению соответствующей диагонали основания на высоту призмы. По условию, площади этих сечений равны $3 \text{ м}^2$ и $6 \text{ м}^2$. Запишем это в виде уравнений:

$S_1 = d_1 \cdot h = 3$

$S_2 = d_2 \cdot h = 6$

Таким образом, мы имеем систему из трех уравнений:

1) $d_1 d_2 = 2$

2) $d_1 h = 3$

3) $d_2 h = 6$

Для решения этой системы перемножим второе и третье уравнения: $(d_1 h) \cdot (d_2 h) = 3 \cdot 6$ $d_1 d_2 h^2 = 18$

Теперь воспользуемся первым уравнением ($d_1 d_2 = 2$) и подставим это значение в полученное выражение: $2 \cdot h^2 = 18$

$h^2 = \frac{18}{2} = 9$

$h = \sqrt{9} = 3 \text{ м}$ (высота является положительной величиной).

Зная высоту, находим объем призмы: $V = S_{осн} \cdot h = 1 \text{ м}^2 \cdot 3 \text{ м} = 3 \text{ м}^3$.

Ответ: $3 \text{ м}^3$.