Номер 13.10, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.10. Объем правильной шестиугольной призмы равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы (рис. 13.6).

Рис. 13.6

Пусть $V_1$ и $S_1$ – объем и площадь основания исходной правильной шестиугольной призмы, а $V_2$ и $S_2$ – объем и площадь основания новой призмы. По условию, объем исходной призмы $V_1 = 12 \text{ см}^3$. Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота призмы.

Так как вершины оснований новой призмы являются серединами сторон оснований данной призмы, то высоты обеих призм равны. Обозначим эту высоту как $H$. Тогда отношение объемов призм равно отношению площадей их оснований: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{S_2 \cdot H}{S_1 \cdot H} = \frac{S_2}{S_1}$.

Для нахождения объема $V_2$ необходимо найти отношение площадей оснований $S_2/S_1$. Основания обеих призм являются правильными шестиугольниками. Пусть сторона основания исходного шестиугольника (призма 1) равна $a$. Основание новой призмы (призма 2) — это также правильный шестиугольник, вершины которого являются серединами сторон исходного. Найдем длину стороны $b$ нового шестиугольника.

Рассмотрим треугольник, образованный стороной $b$ нового шестиугольника и двумя отрезками, каждый из которых равен половине стороны исходного шестиугольника ($a/2$). Эти отрезки являются половинами смежных сторон исходного шестиугольника. Угол между ними равен внутреннему углу правильного шестиугольника, который составляет $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$.

По теореме косинусов для этого треугольника:$b^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(120^\circ)$.Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:$b^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot \frac{a^2}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.

Основания призм (правильные шестиугольники) являются подобными фигурами. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия (то есть квадрату отношения их сторон):$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{b}{a})^2 = \frac{b^2}{a^2}$.Подставим найденное значение $b^2$:$\frac{S_2}{S_1} = \frac{3a^2/4}{a^2} = \frac{3}{4}$.

Теперь мы можем вычислить объем новой призмы $V_2$:$V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 12 \text{ см}^3 \cdot \frac{3}{4} = 9 \text{ см}^3$.

Ответ: 9 см³.