Номер 13.9, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.9. Объем четырехугольной призмы равен $10 \text{ см}^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы (рис. 13.5).

Рис. 13.5

Обозначим объем исходной четырехугольной призмы как $V_{1}$, а площадь ее основания как $S_{1}$. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $h$ — высота призмы. Таким образом, $V_{1} = S_{1} \cdot h$. По условию задачи $V_{1} = 10 \text{ см}^3$.

Найдем объем новой призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы. Обозначим объем новой призмы как $V_{2}$, а площадь ее основания как $S_{2}$. Высота новой призмы совпадает с высотой исходной призмы, так как их основания лежат в одних и тех же параллельных плоскостях. Следовательно, $V_{2} = S_{2} \cdot h$.

Чтобы найти $V_{2}$, нам нужно найти соотношение между площадями оснований $S_{1}$ и $S_{2}$. Отношение объемов двух призм равно отношению площадей их оснований: $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{S_{2} \cdot h}{S_{1} \cdot h} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$

Рассмотрим основание исходной призмы — произвольный четырехугольник $ABCD$. Его площадь равна $S_{1} = S_{ABCD}$. Основанием новой призмы является четырехугольник, вершины которого — середины сторон четырехугольника $ABCD$. Обозначим его $KLMN$. Его площадь равна $S_{2} = S_{KLMN}$.

Площадь четырехугольника $KLMN$ можно найти, вычтя из площади четырехугольника $ABCD$ площади четырех треугольников по углам: $\triangle AKN$, $\triangle BKL$, $\triangle CML$ и $\triangle DMN$, где $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно.

Площадь треугольника $\triangle AKN$ равна: $S_{\triangle AKN} = \frac{1}{2} AK \cdot AN \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}AB) \cdot (\frac{1}{2}AD) \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)) = \frac{1}{4} S_{\triangle ABD}$.

Аналогично для остальных треугольников: $S_{\triangle BKL} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$, $S_{\triangle CML} = \frac{1}{4} S_{\triangle BCD}$, $S_{\triangle DMN} = \frac{1}{4} S_{\triangle CDA}$.

Сумма площадей этих четырех угловых треугольников: $S_{углов} = S_{\triangle AKN} + S_{\triangle BKL} + S_{\triangle CML} + S_{\triangle DMN} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABD} + \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} + \frac{1}{4} S_{\triangle BCD} + \frac{1}{4} S_{\triangle CDA}$. Сгруппируем слагаемые: $S_{углов} = \frac{1}{4} (S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}) + \frac{1}{4} (S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CDA})$. Поскольку $S_{ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}$ и также $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CDA}$, получаем: $S_{углов} = \frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{1}$.

Теперь найдем площадь основания новой призмы $S_{2}$: $S_{2} = S_{KLMN} = S_{ABCD} - S_{углов} = S_{1} - \frac{1}{2} S_{1} = \frac{1}{2} S_{1}$. Таким образом, площадь основания новой призмы в два раза меньше площади основания исходной призмы.

Найдем объем новой призмы $V_{2}$: $V_{2} = S_{2} \cdot h = (\frac{1}{2} S_{1}) \cdot h = \frac{1}{2} (S_{1} \cdot h) = \frac{1}{2} V_{1}$.

Подставим известное значение объема исходной призмы: $V_{2} = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см}^3 = 5 \text{ см}^3$.

Ответ: 5 см³.