Номер 13.14, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.14. Повторите определения тела вращения и цилиндра.

Определение тела вращения

Тело вращения — это объёмное (трёхмерное) тело, которое образуется в результате вращения плоской геометрической фигуры вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения. Важным условием является то, что ось вращения должна лежать в той же плоскости, что и вращаемая фигура.

Представьте, что мы берём плоскую фигуру, например, прямоугольный треугольник или прямоугольник, и начинаем вращать её в пространстве на 360 градусов вокруг прямой линии (оси). Фигура, "заметая" пространство во время своего движения, образует трёхмерное тело. Это и есть тело вращения. Каждая точка вращаемой фигуры при этом описывает окружность. Центры всех этих окружностей лежат на оси вращения, а их плоскости перпендикулярны этой оси.

Наиболее известные примеры тел вращения:
- Цилиндр — образуется при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.
- Конус — образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
- Шар — образуется при вращении полукруга вокруг его диаметра.
- Тор (фигура в форме "бублика") — образуется при вращении круга вокруг оси, которая лежит в плоскости круга, но не пересекает его.

Ответ: Телом вращения называется пространственное тело, образованное вращением плоской фигуры вокруг неподвижной оси, лежащей в плоскости этой фигуры.

Определение цилиндра

Цилиндр (в школьном курсе геометрии под этим термином чаще всего понимают прямой круговой цилиндр) — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон, принятой за ось.

Основные элементы, из которых состоит цилиндр:
- Основания: два равных круга, которые лежат в параллельных плоскостях. Они образуются в результате вращения тех сторон прямоугольника, которые перпендикулярны оси вращения.
- Высота ($h$): это расстояние между плоскостями оснований. Для прямого цилиндра высота равна длине той стороны прямоугольника, которая является осью вращения.
- Радиус ($r$): это радиус оснований цилиндра. Он равен длине той стороны прямоугольника, которая перпендикулярна оси вращения.
- Образующая: это любой отрезок, который соединяет соответствующие точки на окружностях оснований. Все образующие цилиндра параллельны его оси и равны по длине его высоте. Образующие формируют боковую поверхность цилиндра.
- Ось цилиндра: прямая, которая проходит через центры его оснований.

Основные формулы, связанные с цилиндром:
- Объём: $V = \pi r^2 h$.
- Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi rh$.
- Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2$.

Ответ: Цилиндр — это геометрическое тело, которое ограничено двумя параллельными кругами (основаниями) и цилиндрической поверхностью (поверхностью, образованной всеми образующими). Прямой круговой цилиндр можно получить в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.