Номер 13.11, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.11. Сформулируйте условия на стороны оснований и боковые ребра двух правильных $n$-угольных призм, при которых эти призмы подобны. Как относятся объемы этих призм?

Условия подобия двух правильных n-угольных призм

Два многогранника называются подобными, если один из них может быть получен из другого преобразованием подобия. Для двух правильных $n$-угольных призм это означает, что все их соответствующие линейные размеры должны быть пропорциональны, а соответствующие двугранные и плоские углы должны быть равны.

Поскольку призмы правильные, их основаниями являются правильные $n$-угольники, а боковые грани — прямоугольники, перпендикулярные основаниям. Это означает, что все соответствующие углы у двух таких призм автоматически равны.

Таким образом, условие подобия сводится к пропорциональности линейных размеров. Основными линейными размерами, определяющими правильную $n$-угольную призму, являются сторона основания ($a$) и боковое ребро (которое равно высоте призмы $h$).

Пусть у первой призмы сторона основания равна $a_1$, а боковое ребро — $h_1$. У второй призмы сторона основания равна $a_2$, а боковое ребро — $h_2$.

Для того чтобы призмы были подобны, отношение сторон их оснований должно быть равно отношению их боковых ребер (высот). Если $k$ — коэффициент подобия, то должно выполняться равенство: $ \frac{a_2}{a_1} = \frac{h_2}{h_1} = k $

Это условие можно записать в ином виде, показав, что отношение стороны основания к высоте должно быть одинаковым для обеих призм: $ \frac{a_1}{h_1} = \frac{a_2}{h_2} $

Ответ: Две правильные $n$-угольные призмы подобны тогда и только тогда, когда отношение стороны основания к боковому ребру у одной призмы равно отношению стороны основания к боковому ребру у другой призмы.

Отношение объемов подобных призм

Отношение объемов двух подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Докажем это для наших призм.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{основания} \cdot h$, где $S_{основания}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Площадь правильного $n$-угольника со стороной $a$ равна $S_{основания} = \frac{na^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}$.

Найдем объемы наших двух призм:
Объем первой призмы: $ V_1 = S_1 \cdot h_1 = \frac{na_1^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})} \cdot h_1 $
Объем второй призмы: $ V_2 = S_2 \cdot h_2 = \frac{na_2^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})} \cdot h_2 $

Теперь найдем отношение их объемов: $ \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{na_2^2 h_2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}}{\frac{na_1^2 h_1}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}} = \frac{a_2^2 h_2}{a_1^2 h_1} = \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^2 \cdot \left(\frac{h_2}{h_1}\right) $

Из условия подобия мы знаем, что коэффициент подобия $k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{h_2}{h_1}$. Подставим это в формулу для отношения объемов: $ \frac{V_2}{V_1} = k^2 \cdot k = k^3 $

Таким образом, отношение объемов двух подобных правильных $n$-угольных призм равно кубу коэффициента подобия.

Ответ: Отношение объемов двух подобных правильных $n$-угольных призм равно кубу отношения их соответствующих линейных размеров (например, кубу отношения сторон оснований или кубу отношения боковых ребер).