Номер 13.7, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.7. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру (рис. 13.3). В каком отношении эта плоскость делит объем призмы?

Рис. 13.3

Пусть дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ с основаниями $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Обозначим объем этой призмы через $V$, площадь ее основания $S_{ABC}$ через $S$, а высоту через $h$. Тогда объем призмы вычисляется по формуле $V = S \cdot h$.

Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ основания $\triangle ABC$ соответственно. Тогда отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. Согласно условию, через среднюю линию $MN$ проведена плоскость, параллельная боковому ребру (например, $AA_1$). Эта плоскость пересекает верхнее основание $A_1B_1C_1$ по отрезку $M_1N_1$, где $M_1$ и $N_1$ — середины сторон $A_1C_1$ и $B_1C_1$. Сечение представляет собой параллелограмм $MNN_1M_1$.

Данная плоскость делит исходную призму на две части: меньшую треугольную призму $CMNC_1M_1N_1$ (объемом $V_1$) и большую четырехугольную призму $ABNMA_1B_1N_1M_1$ (объемом $V_2$). Обе полученные призмы имеют ту же высоту $h$, что и исходная призма, так как их основания лежат в плоскостях оснований исходной призмы.

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Найдем объемы $V_1$ и $V_2$.
Основанием призмы с объемом $V_1$ является треугольник $CMN$. Так как $MN$ — средняя линия $\triangle ABC$, то $\triangle CMN$ подобен $\triangle CAB$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, поэтому площадь основания $S_1 = S_{CMN}$ составляет:$S_1 = k^2 \cdot S_{CAB} = (\frac{1}{2})^2 \cdot S = \frac{1}{4}S$.
Следовательно, объем меньшей призмы $V_1 = S_1 \cdot h = \frac{1}{4}S \cdot h = \frac{1}{4}V$.

Объем второй, большей части $V_2$ можно найти как разность объемов исходной призмы и меньшей части:$V_2 = V - V_1 = V - \frac{1}{4}V = \frac{3}{4}V$.
Либо можно вычислить его через площадь основания. Основанием большей части является трапеция $ABNM$. Ее площадь $S_2$ равна разности площадей треугольника $ABC$ и треугольника $CMN$:$S_2 = S_{ABNM} = S - S_1 = S - \frac{1}{4}S = \frac{3}{4}S$.
Тогда объем большей призмы $V_2 = S_2 \cdot h = \frac{3}{4}S \cdot h = \frac{3}{4}V$.
Оба способа дают одинаковый результат.

Таким образом, отношение объемов двух частей, на которые секущая плоскость делит исходную призму, равно:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{4}V}{\frac{3}{4}V} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, объемы относятся как $1:3$.

Ответ: $1:3$.