Вопросы, страница 81 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как формулируется принцип Кавальери?

2. Как вычисляется объем призмы?

1. Как формулируется принцип Кавальери?

Принцип Кавальери (или метод неделимых) — это утверждение в геометрии, которое позволяет вычислять объемы тел. Существует несколько формулировок, но наиболее распространенная для пространственных тел звучит следующим образом:

Если два тела могут быть расположены так, что их сечения, образованные любой плоскостью, параллельной некоторой фиксированной плоскости, имеют равные площади, то объемы этих тел равны.

Чтобы лучше понять этот принцип, можно представить стопку монет или колоду карт. Если сложить их ровно, получится прямой параллелепипед. Если же сдвинуть карты или монеты, форма стопки изменится, она станет наклонной, но ее высота и объем останутся прежними. Это происходит потому, что на любой высоте площадь сечения (площадь одной карты или монеты) не изменилась.

Принцип Кавальери является мощным инструментом для доказательства формул объемов различных геометрических тел, таких как пирамида, конус и шар, путем их сравнения с телами, объемы которых уже известны (например, с призмой или цилиндром).

Ответ: Если два тела можно разместить так, что в сечении любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются фигуры с равными площадями, то объемы этих тел равны.

2. Как вычисляется объем призмы?

Объем любой призмы, как прямой, так и наклонной, вычисляется как произведение площади ее основания на высоту.

Формула для вычисления объема призмы выглядит так:

$V = S_{осн} \cdot h$

где:

• $V$ – это объем призмы.
• $S_{осн}$ – это площадь основания призмы. Основанием может быть любой многоугольник (треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д.), и для нахождения его площади используются соответствующие формулы планиметрии.
• $h$ – это высота призмы. Высота представляет собой перпендикулярное расстояние между плоскостями двух оснований.

Важно отметить, что для прямой призмы (у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям) высота $h$ равна длине бокового ребра. Для наклонной призмы высота будет меньше длины бокового ребра, и ее нужно находить как длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одного основания на плоскость другого основания.

Ответ: Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.