Номер 12.22, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.22. В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см (рис. 12.10). Найдите объем оставшейся части.

Рис. 12.10

Для нахождения объема оставшейся части куба необходимо из первоначального объема куба вычесть объем вырезанной части.

1. Сначала вычислим первоначальный объем куба. Длина ребра куба $a = 6$ см. Объем куба находится по формуле $V_{куба} = a^3$.
$V_{куба} = 6^3 = 216$ см³.

2. Теперь найдем объем вырезанной части. Через куб проходят три сквозных отверстия, перпендикулярных друг другу. Каждое отверстие представляет собой прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием $2 \times 2$ см и длиной $6$ см. Объем вырезанной части можно найти двумя способами.

Способ 1: Использование принципа включений-исключений.
Объем одного сквозного отверстия (параллелепипеда) равен $V_п = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 24$ см³. Если просто умножить этот объем на 3 (по количеству отверстий), то мы вычтем объем центральной части, где отверстия пересекаются, трижды, хотя должны вычесть только один раз. Поэтому необходимо скорректировать расчет.
Объем вырезанной части $V_{выр}$ равен сумме объемов трех параллелепипедов минус объемы их попарных пересечений плюс объем их общего тройного пересечения.
$V_{выр} = 3 \cdot V_п - 3 \cdot V_{перес.двух} + V_{перес.трех}$
Область пересечения любых двух отверстий — это центральный куб со стороной 2 см. Его объем $V_{перес.двух} = 2^3 = 8$ см³.
Область пересечения всех трех отверстий — это тот же самый центральный куб, поэтому $V_{перес.трех} = 2^3 = 8$ см³.
Подставляем значения:
$V_{выр} = 3 \cdot 24 - 3 \cdot 8 + 8 = 72 - 24 + 8 = 56$ см³.

Способ 2: Разложение вырезанной фигуры на части.
Вырезанную фигуру можно представить состоящей из центрального куба (место пересечения всех отверстий) и шести "лучей", отходящих от его граней.
- Объем центрального куба со стороной 2 см: $V_{центр} = 2^3 = 8$ см³.
- Каждый из шести "лучей" является параллелепипедом с основанием $2 \times 2$ см. Длина каждого луча равна половине разности между ребром большого куба и ребром центрального куба: $(6 - 2) / 2 = 2$ см.
- Объем одного луча: $V_{луч} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ см³.
- Суммарный объем шести лучей: $6 \cdot V_{луч} = 6 \cdot 8 = 48$ см³.
- Общий объем вырезанной части: $V_{выр} = V_{центр} + 6 \cdot V_{луч} = 8 + 48 = 56$ см³.

3. Наконец, найдем объем оставшейся части куба.
$V_{ост} = V_{куба} - V_{выр} = 216 - 56 = 160$ см³.

Ответ: $160$ см³.