Номер 12.15, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.15. Ребра прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, выходящие из одной вершины, равны 5 см, 4 см, 3 см. Найдите объем треугольной призмы $ABOA_1B_1O_1$ (рис. 12.7).

Рис. 12.7

По условию задачи, нам дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Ребра, выходящие из одной вершины, равны 5 см, 4 см и 3 см. Пусть это будут ребра, выходящие из вершины $A$. Тогда их длины: $AB = 5$ см, $AD = 4$ см и $AA_1 = 3$ см.

Нам необходимо найти объем треугольной призмы $ABOA_1B_1O_1$. Объем любой призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{основания} \times h$

где $S_{основания}$ — площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

В данном случае, основанием призмы является треугольник $ABO$, а высотой — ребро $AA_1$, так как призма является прямой (ее боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $OO_1$ перпендикулярны основанию). Таким образом, высота призмы $h = AA_1 = 3$ см.

Найдем площадь основания — треугольника $ABO$. Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$, который лежит в основании параллелепипеда. Диагонали прямоугольника делят его на четыре равновеликих (имеющих равную площадь) треугольника.

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна произведению его сторон:

$S_{ABCD} = AB \times AD = 5 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$

Площадь треугольника $ABO$ составляет одну четвертую от площади прямоугольника $ABCD$:

$S_{ABO} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \times 20 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2$

Теперь, зная площадь основания и высоту призмы, мы можем вычислить ее объем:

$V_{ABOA_1B_1O_1} = S_{ABO} \times h = 5 \text{ см}^2 \times 3 \text{ см} = 15 \text{ см}^3$

Ответ: $15 \text{ см}^3$.