Номер 12.12, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.12 Найдите объемы деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 12.4.

а) Объем фигуры а): $V_a = 3 \times 2 \times 2 - 1 \times 1 \times 1 = 11$

б) Объем фигуры б): $V_b = 2 \times 2 \times 1 + 2 \times 1 \times 1 = 6$

Рис. 12.4

a) Для нахождения объема данной детали можно использовать метод вычитания. Представим деталь как большой прямоугольный параллелепипед, из которого вырезали меньший параллелепипед.
1. Сначала найдем объем большого параллелепипеда, который вмещает в себя всю деталь. Его размеры, согласно рисунку, составляют: длина = 3, ширина = 2, высота = 2.
Объем этого большого параллелепипеда $V_{общий}$ рассчитывается по формуле:
$V_{общий} = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота} = 3 \times 2 \times 2 = 12$ кубических единиц.
2. Теперь определим размеры вырезанной части (выемки). Это также прямоугольный параллелепипед.
- Его ширина (глубина) равна ширине всей детали, то есть 2.
- Его длина равна общей длине (3) минус длины боковых стенок (1 и 1): $3 - 1 - 1 = 1$.
- Его высота равна общей высоте (2) минус высота нижней части (1): $2 - 1 = 1$.
Объем вырезанной части $V_{выемки}$ равен:
$V_{выемки} = 1 \times 2 \times 1 = 2$ кубические единицы.
3. Чтобы найти объем детали, вычтем объем выемки из общего объема:
$V_{детали} = V_{общий} - V_{выемки} = 12 - 2 = 10$ кубических единиц.
Ответ: 10

б) Для нахождения объема этой детали удобно разбить ее на два прямоугольных параллелепипеда и сложить их объемы.
1. Разобьем деталь на два блока: задний высокий блок ($V_1$) и передний низкий блок ($V_2$).
2. Найдем объем заднего высокого блока ($V_1$). Согласно размерам на рисунке:
- Высота = 2 (указана на левой грани).
- Ширина = 2 (указана на нижнем пунктирном ребре).
- Глубина = 1 (указана на верхней грани).
Объем этого блока:
$V_1 = 2 \times 2 \times 1 = 4$ кубические единицы.
3. Теперь найдем объем переднего низкого блока ($V_2$).
- Высота = 1 (указана на передней правой грани).
- Ширина = 2 (указана на передней нижней грани).
- Глубина этого блока равна общей глубине детали (2, указана на правой боковой грани) минус глубина заднего блока (1): $2 - 1 = 1$.
Объем этого блока:
$V_2 = 2 \times 1 \times 1 = 2$ кубические единицы.
4. Общий объем детали равен сумме объемов двух блоков:
$V_{детали} = V_1 + V_2 = 4 + 2 = 6$ кубических единиц.
Ответ: 6