Номер 12.11, страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.11 Найдите объемы деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 12.3.

а) 3, 4, 4, 4, 1, 2, 1, 2, 2, $1/2$, 1

б) 4, 1, 4, 4, 4, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1

Рис. 12.3

a) Объем данной детали можно вычислить как разность объемов двух прямоугольных параллелепипедов. Сначала найдем объем большого параллелепипеда, как если бы он был цельным, а затем вычтем из него объем вырезанной части.
1. Размеры большого параллелепипеда: ширина – 3, глубина – 4, высота – 4.
Его объем $V_{1}$ равен произведению этих измерений:
$V_{1} = 3 \times 4 \times 4 = 48$ кубических единиц.
2. Вырезанная часть (выемка) также является прямоугольным параллелепипедом. Ее размеры: ширина – 1, глубина – 4 (такая же, как у всей детали), высота – 2 (согласно рисунку, общая высота 4, а высота оставшейся части под выемкой равна 2, следовательно, высота самой выемки $4 - 2 = 2$).
Ее объем $V_{2}$ равен:
$V_{2} = 1 \times 4 \times 2 = 8$ кубических единиц.
3. Объем детали $V_{a}$ равен разности объемов $V_{1}$ и $V_{2}$:
$V_{a} = V_{1} - V_{2} = 48 - 8 = 40$ кубических единиц.
Ответ: 40

б) Объем этой детали можно найти, вычтя из объема внешнего большого параллелепипеда объем внутреннего пустого пространства (сквозного отверстия).
1. Внешний параллелепипед представляет собой куб, так как все его измерения (ширина, глубина и высота) равны 4.
Его объем $V_{внешний}$ равен:
$V_{внешний} = 4 \times 4 \times 4 = 64$ кубических единицы.
2. Внутреннее отверстие представляет собой прямоугольный параллелепипед, проходящий через всю высоту детали. Размеры его основания – 2 на 2, а высота равна высоте всей детали, то есть 4.
Объем этого отверстия $V_{внутренний}$ равен:
$V_{внутренний} = 2 \times 2 \times 4 = 16$ кубических единиц.
3. Объем детали $V_{б}$ равен разности объемов $V_{внешний}$ и $V_{внутренний}$:
$V_{б} = V_{внешний} - V_{внутренний} = 64 - 16 = 48$ кубических единиц.
Ответ: 48