Номер 12.14, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.14 Ребра прямоугольного параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ выходящие из одной вершины, равны 5 см, 4 см, 3 см. Найдите объем треугольной призмы $ABCA_1 B_1 C_1$ (рис. 12.6).

Рис. 12.6

Для нахождения объема треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ используется формула $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

В данной задаче основанием призмы является треугольник $ABC$, а ее высотой является боковое ребро, перпендикулярное основанию, например, $AA_1$.

По условию, $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед. Ребра, выходящие из одной вершины (пусть это будет вершина А), равны 5 см, 4 см и 3 см. Сопоставим эти длины с ребрами на рисунке: $AB = 5$ см, $AD = 4$ см, $AA_1 = 3$ см.

Высота призмы $h$ равна длине ребра $AA_1$, то есть $h = 3$ см.

Основание призмы — треугольник $ABC$. Так как параллелепипед прямоугольный, его основание $ABCD$ является прямоугольником. Следовательно, угол $\angle ABC$ — прямой, а треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. Катетами треугольника $ABC$ являются стороны $AB$ и $BC$. Длина катета $AB$ равна 5 см. Длина катета $BC$ равна длине стороны $AD$, поскольку $ABCD$ — прямоугольник. Таким образом, $BC = AD = 4$ см.

Вычислим площадь основания призмы $S_{осн}$:$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 10 \text{ см}^2$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объем призмы:$V = S_{осн} \cdot h = 10 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 30 \text{ см}^3$.

Ответ: $30 \text{ см}^3$.