Номер 12.17, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.17. Найдите объем общей части (пересечения) двух единичных кубов, вершина одного из которых расположена в центре другого (рис. 12.8).

Рис. 12.8

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть первый единичный куб, назовем его $K_1$, имеет центр в начале координат $(0, 0, 0)$. Поскольку длина ребра единичного куба равна 1, его грани лежат в плоскостях $x=\pm\frac{1}{2}$, $y=\pm\frac{1}{2}$ и $z=\pm\frac{1}{2}$. Таким образом, точки $(x, y, z)$, принадлежащие кубу $K_1$, удовлетворяют системе неравенств:

$- \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} \le z \le \frac{1}{2}$

Второй единичный куб, назовем его $K_2$, имеет одну из своих вершин в центре куба $K_1$, то есть в точке $(0, 0, 0)$. Будем считать, что ориентация кубов соответствует изображенной на рисунке, то есть их ребра параллельны. Для определенности разместим куб $K_2$ так, чтобы его ребра были направлены вдоль положительных полуосей. Тогда точки $(x, y, z)$, принадлежащие кубу $K_2$, удовлетворяют неравенствам:

$0 \le x \le 1$

$0 \le y \le 1$

$0 \le z \le 1$

Общая часть (пересечение) двух кубов — это область пространства, точки которой удовлетворяют обеим системам неравенств. Для этого найдем пересечение соответствующих диапазонов для каждой из координат:

Пересечение для $x$: интервалы $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ и $[0, 1]$ пересекаются по интервалу $[0, \frac{1}{2}]$.

Пересечение для $y$: интервалы $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ и $[0, 1]$ пересекаются по интервалу $[0, \frac{1}{2}]$.

Пересечение для $z$: интервалы $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ и $[0, 1]$ пересекаются по интервалу $[0, \frac{1}{2}]$.

Таким образом, область пересечения представляет собой куб, определяемый неравенствами:

$0 \le x \le \frac{1}{2}$

$0 \le y \le \frac{1}{2}$

$0 \le z \le \frac{1}{2}$

Длина ребра этого куба пересечения равна $a = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина его ребра. Следовательно, искомый объем общей части равен:

$V = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$

Примечание: можно доказать, что объем пересечения не зависит от ориентации (поворота) второго куба, пока его вершина остается в центре первого. Однако, в рамках данной задачи достаточно рассмотреть простейший случай с параллельными ребрами, как показано на рисунке.

Ответ: $\frac{1}{8}$