Номер 12.23, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.23. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань единичного куба, а вершиной — центр этого куба (рис. 12.11).

Рис. 12.11

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды используется формула:
$V = \frac{1}{3}S_{осн}h$
где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $h$ — ее высота.

Согласно условию задачи, мы имеем дело с единичным кубом. Это означает, что длина каждого его ребра равна 1.
Основанием пирамиды является грань этого куба. Грань куба — это квадрат. Поскольку ребро куба равно 1, сторона квадрата в основании также равна $a = 1$.
Найдем площадь основания:
$S_{осн} = a^2 = 1^2 = 1$.

Вершиной пирамиды является центр куба. Высота пирамиды — это перпендикулярное расстояние от ее вершины до плоскости основания. В нашем случае это расстояние от центра куба до грани, на которой лежит основание пирамиды.
Центр куба равноудален от всех его граней. Расстояние между двумя противоположными гранями куба равно длине его ребра, то есть 1. Центр куба находится ровно посередине между ними. Следовательно, расстояние от центра до любой грани (высота нашей пирамиды) равно половине длины ребра куба.
$h = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

Альтернативный способ решения:
Куб можно разделить на 6 одинаковых пирамид, основаниями которых являются 6 граней куба, а общей вершиной — центр куба. Объем всего единичного куба равен $V_{куба} = 1^3 = 1$.
Поскольку все 6 пирамид равны, объем одной из них составляет одну шестую от объема всего куба:
$V_{пирамиды} = \frac{V_{куба}}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.