Страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.23. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань единичного куба, а вершиной — центр этого куба (рис. 12.11).

Рис. 12.11

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды используется формула:
$V = \frac{1}{3}S_{осн}h$
где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $h$ — ее высота.

Согласно условию задачи, мы имеем дело с единичным кубом. Это означает, что длина каждого его ребра равна 1.
Основанием пирамиды является грань этого куба. Грань куба — это квадрат. Поскольку ребро куба равно 1, сторона квадрата в основании также равна $a = 1$.
Найдем площадь основания:
$S_{осн} = a^2 = 1^2 = 1$.

Вершиной пирамиды является центр куба. Высота пирамиды — это перпендикулярное расстояние от ее вершины до плоскости основания. В нашем случае это расстояние от центра куба до грани, на которой лежит основание пирамиды.
Центр куба равноудален от всех его граней. Расстояние между двумя противоположными гранями куба равно длине его ребра, то есть 1. Центр куба находится ровно посередине между ними. Следовательно, расстояние от центра до любой грани (высота нашей пирамиды) равно половине длины ребра куба.
$h = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

Альтернативный способ решения:
Куб можно разделить на 6 одинаковых пирамид, основаниями которых являются 6 граней куба, а общей вершиной — центр куба. Объем всего единичного куба равен $V_{куба} = 1^3 = 1$.
Поскольку все 6 пирамид равны, объем одной из них составляет одну шестую от объема всего куба:
$V_{пирамиды} = \frac{V_{куба}}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

12.24. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань единичного куба, а вершиной — вершина куба, не принадлежащая этой грани (рис. 12.12).

Рис. 12.12

Для нахождения объема пирамиды используется формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

Согласно условию, пирамида построена внутри единичного куба. Это означает, что длина ребра куба равна 1.

Основанием пирамиды является грань куба. Грань единичного куба — это квадрат со стороной, равной 1. Найдем площадь этого квадрата: $S_{осн} = 1 \cdot 1 = 1$.

Вершиной пирамиды является вершина куба, не принадлежащая плоскости основания. Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания. В нашем случае, так как основание — это одна из граней куба, а вершина — точка на противоположной грани, высота пирамиды будет равна ребру куба, перпендикулярному основанию. Таким образом, высота пирамиды $H$ равна 1.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \

12.25 Емкость имеет форму параллелепипеда (рис. 12.13). Необходимо наполнить водой ровно половину объема данной емкости, не имея никаких других емкостей и не делая измерений. Покажите на рисунке и объясните. Найдите объем этой воды, если длина емкости 4 м, ширина на 0,5 м больше высоты, а высота составляет 37,5% длины.

Рис. 12.13

Объяснение способа наполнения

Для того чтобы наполнить емкость в форме параллелепипеда ровно наполовину без использования измерительных приборов, необходимо использовать свойство симметрии этой фигуры. Диагональная плоскость, проходящая через два противоположных ребра параллелепипеда, делит его объем на две равные части.

Алгоритм действий следующий:

1. Емкость нужно наклонить, оперев ее на одно из нижних ребер (например, нижнее переднее ребро).

2. Далее следует медленно наливать воду, пока ее уровень не достигнет диагонально противоположного верхнего ребра (в нашем примере — верхнего заднего ребра).

В тот момент, когда поверхность воды соединит эти два ребра, вода будет занимать объем, в точности равный половине объема всей емкости. Этот объем представляет собой треугольную призму. На рисунке это выглядело бы как параллелепипед, стоящий на ребре, где вода заполняет его от нижнего ребра опоры до диагонально противоположного верхнего ребра.

Ответ: Емкость нужно наклонять и наливать в нее воду до тех пор, пока уровень воды не соединит нижнее ребро опоры с диагонально противоположным ему верхним ребром.

Расчет объема воды

Сначала найдем размеры емкости, исходя из данных задачи.

Дано:
Длина $l = 4$ м.
Высота $h$ составляет 37,5% от длины.
Ширина $w$ на 0,5 м больше высоты.

1. Вычислим высоту $h$:
Переведем проценты в десятичную дробь: $37,5\% = 0,375$.
$h = l \times 0,375 = 4 \text{ м} \times 0,375 = 1,5 \text{ м}$.

2. Вычислим ширину $w$:
$w = h + 0,5 \text{ м} = 1,5 \text{ м} + 0,5 \text{ м} = 2 \text{ м}$.

3. Теперь найдем полный объем емкости $V_{полный}$ по формуле объема прямоугольного параллелепипеда $V = l \times w \times h$:
$V_{полный} = 4 \text{ м} \times 2 \text{ м} \times 1,5 \text{ м} = 12 \text{ м}^3$.

4. Объем воды $V_{воды}$ составляет половину полного объема емкости:
$V_{воды} = \frac{1}{2} \times V_{полный} = \frac{1}{2} \times 12 \text{ м}^3 = 6 \text{ м}^3$.

Ответ: объем воды составляет $6 \text{ м}^3$.

12.26. Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см.

Для решения этой задачи сначала определим, какой высоты должен быть уровень воды в аквариуме. Общая высота аквариума составляет 55 см, а уровень воды должен быть на 10 см ниже верхнего края.

1. Найдем высоту столба воды в аквариуме:
$h_{воды} = h_{аквариума} - 10 \text{ см}$
$h_{воды} = 55 \text{ см} - 10 \text{ см} = 45 \text{ см}$

2. Теперь вычислим объем воды, который необходимо налить. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, и объем воды будет равен произведению его длины, ширины и высоты уровня воды.
Формула объема: $V = a \cdot b \cdot h$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $h$ – высота.
$V_{воды} = 80 \text{ см} \times 45 \text{ см} \times 45 \text{ см}$
$V_{воды} = 3600 \text{ см}^2 \times 45 \text{ см} = 162 000 \text{ см}^3$

3. В вопросе требуется указать объем в литрах. Для перевода кубических сантиметров в литры воспользуемся соотношением: $1 \text{ литр} = 1000 \text{ см}^3$.
$V_{литры} = \frac{162 000 \text{ см}^3}{1000} = 162 \text{ л}$

Ответ: чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см, надо влить 162 литра воды.

12.27. Повторите определение призмы, вписанных и описанных призм.

Призма

Призма — это многогранник, две грани которого (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) — параллелограммами, соединяющими соответственные стороны оснований.

Элементы призмы:
- Основания: два равных многоугольника.
- Боковые грани: параллелограммы.
- Боковые ребра: отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований. Все боковые ребра параллельны и равны друг другу.
- Высота призмы: перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого.

Виды призм:
- Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники.
- Наклонная призма — это призма, у которой боковые ребра не перпендикулярны основаниям.
- Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Ответ: Призма — это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников (оснований), лежащих в параллельных плоскостях, и n параллелограммов (боковых граней), которые соединяют стороны оснований.

Вписанная призма

Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. Это равносильно тому, что все вершины призмы лежат на боковой поверхности цилиндра. В этом случае также говорят, что цилиндр описан около призмы.

Условие существования: призму можно вписать в цилиндр тогда и только тогда, когда около многоугольника, являющегося ее основанием, можно описать окружность.
Если в цилиндр вписана прямая призма, то ее боковые ребра являются образующими цилиндра.

Ответ: Вписанная призма — это призма, у которой многоугольники оснований вписаны в окружности оснований цилиндра, то есть все ее вершины лежат на боковой поверхности цилиндра.

Описанная призма

Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра. Это равносильно тому, что все боковые грани призмы касаются боковой поверхности цилиндра. В этом случае также говорят, что цилиндр вписан в призму.

Условие существования: призму можно описать около цилиндра тогда и только тогда, когда в многоугольник, являющийся ее основанием, можно вписать окружность.
Если прямая призма описана около цилиндра, то высота призмы равна высоте цилиндра, а линии касания боковых граней с поверхностью цилиндра являются образующими цилиндра.

Ответ: Описанная призма — это призма, у которой в многоугольники оснований вписаны окружности оснований цилиндра, а ее боковые грани касаются боковой поверхности цилиндра.