Номер 12.25, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.25 Емкость имеет форму параллелепипеда (рис. 12.13). Необходимо наполнить водой ровно половину объема данной емкости, не имея никаких других емкостей и не делая измерений. Покажите на рисунке и объясните. Найдите объем этой воды, если длина емкости 4 м, ширина на 0,5 м больше высоты, а высота составляет 37,5% длины.

Рис. 12.13

Объяснение способа наполнения

Для того чтобы наполнить емкость в форме параллелепипеда ровно наполовину без использования измерительных приборов, необходимо использовать свойство симметрии этой фигуры. Диагональная плоскость, проходящая через два противоположных ребра параллелепипеда, делит его объем на две равные части.

Алгоритм действий следующий:

1. Емкость нужно наклонить, оперев ее на одно из нижних ребер (например, нижнее переднее ребро).

2. Далее следует медленно наливать воду, пока ее уровень не достигнет диагонально противоположного верхнего ребра (в нашем примере — верхнего заднего ребра).

В тот момент, когда поверхность воды соединит эти два ребра, вода будет занимать объем, в точности равный половине объема всей емкости. Этот объем представляет собой треугольную призму. На рисунке это выглядело бы как параллелепипед, стоящий на ребре, где вода заполняет его от нижнего ребра опоры до диагонально противоположного верхнего ребра.

Ответ: Емкость нужно наклонять и наливать в нее воду до тех пор, пока уровень воды не соединит нижнее ребро опоры с диагонально противоположным ему верхним ребром.

Расчет объема воды

Сначала найдем размеры емкости, исходя из данных задачи.

Дано:
Длина $l = 4$ м.
Высота $h$ составляет 37,5% от длины.
Ширина $w$ на 0,5 м больше высоты.

1. Вычислим высоту $h$:
Переведем проценты в десятичную дробь: $37,5\% = 0,375$.
$h = l \times 0,375 = 4 \text{ м} \times 0,375 = 1,5 \text{ м}$.

2. Вычислим ширину $w$:
$w = h + 0,5 \text{ м} = 1,5 \text{ м} + 0,5 \text{ м} = 2 \text{ м}$.

3. Теперь найдем полный объем емкости $V_{полный}$ по формуле объема прямоугольного параллелепипеда $V = l \times w \times h$:
$V_{полный} = 4 \text{ м} \times 2 \text{ м} \times 1,5 \text{ м} = 12 \text{ м}^3$.

4. Объем воды $V_{воды}$ составляет половину полного объема емкости:
$V_{воды} = \frac{1}{2} \times V_{полный} = \frac{1}{2} \times 12 \text{ м}^3 = 6 \text{ м}^3$.

Ответ: объем воды составляет $6 \text{ м}^3$.