Номер 12.18, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 12.9

12.18. Найдите объем фигуры, составленной из двух единичных кубов, две вершины одного из которых расположены в центрах граней другого (рис. 12.9).

12.19. Стальной...

Пусть сторона единичного куба равна $1$. Объем каждого куба составляет $V_{куб} = 1^3 = 1$. Общий объем фигуры равен сумме объемов двух кубов за вычетом объема их пересечения: $V_{общий} = V_1 + V_2 - V_{пересечения} = 1 + 1 - V_{пересечения} = 2 - V_{пересечения}$.

Чтобы найти объем пересечения, необходимо определить взаимное расположение кубов. Пусть есть Куб А и Куб Б. По условию, две вершины Куба А находятся в центрах граней Куба Б.

Сначала найдем возможные расстояния между двумя вершинами единичного куба (Куб А). Расстояние между соседними вершинами (длина ребра) равно $1$. Расстояние между вершинами на одной грани, не являющимися соседними (диагональ грани), равно $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Расстояние между противоположными вершинами (пространственная диагональ) равно $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Теперь найдем возможные расстояния между центрами двух граней единичного куба (Куб Б). Для этого удобно поместить Куб Б в систему координат так, чтобы его центр был в начале координат, а грани были параллельны координатным плоскостям. Тогда центры граней находятся в точках $(\pm 1/2, 0, 0)$, $(0, \pm 1/2, 0)$ и $(0, 0, \pm 1/2)$. Расстояние между центрами смежных граней, например, $(1/2, 0, 0)$ и $(0, 1/2, 0)$, равно $\sqrt{(1/2 - 0)^2 + (0 - 1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = 1/\sqrt{2}$. Расстояние между центрами противоположных граней, например, $(1/2, 0, 0)$ и $(-1/2, 0, 0)$, равно $\sqrt{(1/2 - (-1/2))^2} = 1$.

Сравнивая расстояния, мы видим, что расстояние между двумя вершинами Куба А должно быть равно расстоянию между центрами двух граней Куба Б. Единственное совпадение — это расстояние, равное $1$. Это означает, что две соседние вершины Куба А расположены в центрах двух противоположных граней Куба Б.

Расположим Куб Б в системе координат так, чтобы он занимал область $[0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]$. Центры его противоположных граней, перпендикулярных оси z, находятся в точках $C_1 = (1/2, 1/2, 0)$ и $C_2 = (1/2, 1/2, 1)$. В этих точках находятся две соседние вершины Куба А. Будем считать, что ребра Куба А параллельны осям координат, что является наиболее естественной интерпретацией условия и рисунка, так как вращение не указано. Пусть Куб А определяется областью $[x_0, x_0+1] \times [y_0, y_0+1] \times [z_0, z_0+1]$. Его вершины имеют координаты $(x_0+i, y_0+j, z_0+k)$, где $i, j, k \in \{0, 1\}$.

Найдем $x_0, y_0, z_0$. Для некоторых наборов индексов $(i_1, j_1, k_1)$ и $(i_2, j_2, k_2)$ должны выполняться равенства: $V_1: (x_0+i_1, y_0+j_1, z_0+k_1) = (1/2, 1/2, 0)$ и $V_2: (x_0+i_2, y_0+j_2, z_0+k_2) = (1/2, 1/2, 1)$. Из этих равенств следует, что $i_1=i_2$, $j_1=j_2$, а $k_2-k_1 = 1$, что возможно только при $k_1=0, k_2=1$. Подставив $k_1=0$ в третье уравнение для $V_1$, получаем $z_0+0=0$, откуда $z_0=0$. Также имеем $x_0+i_1 = 1/2$ и $y_0+j_1 = 1/2$. Выберем, например, $i_1=0$ и $j_1=0$. Тогда $x_0=1/2$ и $y_0=1/2$. В этом случае Куб А занимает область $[1/2, 3/2] \times [1/2, 3/2] \times [0, 1]$.

Теперь найдем объем пересечения Куба А ($1/2 \le x \le 3/2, 1/2 \le y \le 3/2, 0 \le z \le 1$) и Куба Б ($0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1$). Область пересечения определяется следующими неравенствами: по оси x: $1/2 \le x \le 1$ (длина $1/2$); по оси y: $1/2 \le y \le 1$ (длина $1/2$); по оси z: $0 \le z \le 1$ (длина $1$). Пересечение представляет собой прямоугольный параллелепипед с размерами $1/2 \times 1/2 \times 1$. Объем пересечения равен $V_{пересечения} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.

Итоговый объем фигуры равен: $V_{общий} = 2 - V_{пересечения} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

Ответ: $7/4$