Страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.16. Основанием аквариума является прямоугольник со сторонами 40 см и 50 см. Уровень воды в нем находится на высоте 80 см. Эту воду перелили в другой аквариум, основанием которого является прямоугольник со сторонами 80 см и 100 см. На какой высоте будет находиться уровень воды?

Для решения этой задачи необходимо исходить из того, что объем воды при переливании из одного аквариума в другой не изменяется. Объем воды в аквариуме, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота уровня воды.

Сначала вычислим объем воды в первом аквариуме ($V_1$). Основание первого аквариума представляет собой прямоугольник со сторонами 40 см и 50 см. Его площадь ($S_1$) равна: $S_1 = 40 \text{ см} \cdot 50 \text{ см} = 2000 \text{ см}^2$.

Высота уровня воды в первом аквариуме ($h_1$) составляет 80 см. Теперь можем найти объем воды: $V_1 = S_1 \cdot h_1 = 2000 \text{ см}^2 \cdot 80 \text{ см} = 160000 \text{ см}^3$.

Поскольку всю воду перелили во второй аквариум, объем воды в нем ($V_2$) будет таким же: $V_2 = V_1 = 160000 \text{ см}^3$.

Основание второго аквариума — прямоугольник со сторонами 80 см и 100 см. Найдем его площадь ($S_2$): $S_2 = 80 \text{ см} \cdot 100 \text{ см} = 8000 \text{ см}^2$.

Наконец, найдем высоту уровня воды ($h_2$) во втором аквариуме, разделив объем воды на площадь его основания: $h_2 = \frac{V_2}{S_2} = \frac{160000 \text{ см}^3}{8000 \text{ см}^2} = 20 \text{ см}$.

Ответ: 20 см.

12.17. Найдите объем общей части (пересечения) двух единичных кубов, вершина одного из которых расположена в центре другого (рис. 12.8).

Рис. 12.8

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть первый единичный куб, назовем его $K_1$, имеет центр в начале координат $(0, 0, 0)$. Поскольку длина ребра единичного куба равна 1, его грани лежат в плоскостях $x=\pm\frac{1}{2}$, $y=\pm\frac{1}{2}$ и $z=\pm\frac{1}{2}$. Таким образом, точки $(x, y, z)$, принадлежащие кубу $K_1$, удовлетворяют системе неравенств:

$- \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} \le z \le \frac{1}{2}$

Второй единичный куб, назовем его $K_2$, имеет одну из своих вершин в центре куба $K_1$, то есть в точке $(0, 0, 0)$. Будем считать, что ориентация кубов соответствует изображенной на рисунке, то есть их ребра параллельны. Для определенности разместим куб $K_2$ так, чтобы его ребра были направлены вдоль положительных полуосей. Тогда точки $(x, y, z)$, принадлежащие кубу $K_2$, удовлетворяют неравенствам:

$0 \le x \le 1$

$0 \le y \le 1$

$0 \le z \le 1$

Общая часть (пересечение) двух кубов — это область пространства, точки которой удовлетворяют обеим системам неравенств. Для этого найдем пересечение соответствующих диапазонов для каждой из координат:

Пересечение для $x$: интервалы $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ и $[0, 1]$ пересекаются по интервалу $[0, \frac{1}{2}]$.

Пересечение для $y$: интервалы $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ и $[0, 1]$ пересекаются по интервалу $[0, \frac{1}{2}]$.

Пересечение для $z$: интервалы $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ и $[0, 1]$ пересекаются по интервалу $[0, \frac{1}{2}]$.

Таким образом, область пересечения представляет собой куб, определяемый неравенствами:

$0 \le x \le \frac{1}{2}$

$0 \le y \le \frac{1}{2}$

$0 \le z \le \frac{1}{2}$

Длина ребра этого куба пересечения равна $a = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина его ребра. Следовательно, искомый объем общей части равен:

$V = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$

Примечание: можно доказать, что объем пересечения не зависит от ориентации (поворота) второго куба, пока его вершина остается в центре первого. Однако, в рамках данной задачи достаточно рассмотреть простейший случай с параллельными ребрами, как показано на рисунке.

Ответ: $\frac{1}{8}$

Рис. 12.9

12.18. Найдите объем фигуры, составленной из двух единичных кубов, две вершины одного из которых расположены в центрах граней другого (рис. 12.9).

12.19. Стальной...

Пусть сторона единичного куба равна $1$. Объем каждого куба составляет $V_{куб} = 1^3 = 1$. Общий объем фигуры равен сумме объемов двух кубов за вычетом объема их пересечения: $V_{общий} = V_1 + V_2 - V_{пересечения} = 1 + 1 - V_{пересечения} = 2 - V_{пересечения}$.

Чтобы найти объем пересечения, необходимо определить взаимное расположение кубов. Пусть есть Куб А и Куб Б. По условию, две вершины Куба А находятся в центрах граней Куба Б.

Сначала найдем возможные расстояния между двумя вершинами единичного куба (Куб А). Расстояние между соседними вершинами (длина ребра) равно $1$. Расстояние между вершинами на одной грани, не являющимися соседними (диагональ грани), равно $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Расстояние между противоположными вершинами (пространственная диагональ) равно $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Теперь найдем возможные расстояния между центрами двух граней единичного куба (Куб Б). Для этого удобно поместить Куб Б в систему координат так, чтобы его центр был в начале координат, а грани были параллельны координатным плоскостям. Тогда центры граней находятся в точках $(\pm 1/2, 0, 0)$, $(0, \pm 1/2, 0)$ и $(0, 0, \pm 1/2)$. Расстояние между центрами смежных граней, например, $(1/2, 0, 0)$ и $(0, 1/2, 0)$, равно $\sqrt{(1/2 - 0)^2 + (0 - 1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = 1/\sqrt{2}$. Расстояние между центрами противоположных граней, например, $(1/2, 0, 0)$ и $(-1/2, 0, 0)$, равно $\sqrt{(1/2 - (-1/2))^2} = 1$.

Сравнивая расстояния, мы видим, что расстояние между двумя вершинами Куба А должно быть равно расстоянию между центрами двух граней Куба Б. Единственное совпадение — это расстояние, равное $1$. Это означает, что две соседние вершины Куба А расположены в центрах двух противоположных граней Куба Б.

Расположим Куб Б в системе координат так, чтобы он занимал область $[0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]$. Центры его противоположных граней, перпендикулярных оси z, находятся в точках $C_1 = (1/2, 1/2, 0)$ и $C_2 = (1/2, 1/2, 1)$. В этих точках находятся две соседние вершины Куба А. Будем считать, что ребра Куба А параллельны осям координат, что является наиболее естественной интерпретацией условия и рисунка, так как вращение не указано. Пусть Куб А определяется областью $[x_0, x_0+1] \times [y_0, y_0+1] \times [z_0, z_0+1]$. Его вершины имеют координаты $(x_0+i, y_0+j, z_0+k)$, где $i, j, k \in \{0, 1\}$.

Найдем $x_0, y_0, z_0$. Для некоторых наборов индексов $(i_1, j_1, k_1)$ и $(i_2, j_2, k_2)$ должны выполняться равенства: $V_1: (x_0+i_1, y_0+j_1, z_0+k_1) = (1/2, 1/2, 0)$ и $V_2: (x_0+i_2, y_0+j_2, z_0+k_2) = (1/2, 1/2, 1)$. Из этих равенств следует, что $i_1=i_2$, $j_1=j_2$, а $k_2-k_1 = 1$, что возможно только при $k_1=0, k_2=1$. Подставив $k_1=0$ в третье уравнение для $V_1$, получаем $z_0+0=0$, откуда $z_0=0$. Также имеем $x_0+i_1 = 1/2$ и $y_0+j_1 = 1/2$. Выберем, например, $i_1=0$ и $j_1=0$. Тогда $x_0=1/2$ и $y_0=1/2$. В этом случае Куб А занимает область $[1/2, 3/2] \times [1/2, 3/2] \times [0, 1]$.

Теперь найдем объем пересечения Куба А ($1/2 \le x \le 3/2, 1/2 \le y \le 3/2, 0 \le z \le 1$) и Куба Б ($0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1$). Область пересечения определяется следующими неравенствами: по оси x: $1/2 \le x \le 1$ (длина $1/2$); по оси y: $1/2 \le y \le 1$ (длина $1/2$); по оси z: $0 \le z \le 1$ (длина $1$). Пересечение представляет собой прямоугольный параллелепипед с размерами $1/2 \times 1/2 \times 1$. Объем пересечения равен $V_{пересечения} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.

Итоговый объем фигуры равен: $V_{общий} = 2 - V_{пересечения} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

Ответ: $7/4$

Другого (рис. 12.18).

12.19. Строительный кирпич имеет размер 25 см x 12 см x 6 см. Найдите объем стены, выложенной из 10000 кирпичей. Учтите, что раствор увеличивает объем на 15%.

Для решения задачи сначала найдем объем одного кирпича. Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его объем вычисляется по формуле $V = a \times b \times c$, где $a, b, c$ — его измерения.

1. Вычисление объема одного кирпича.
Размеры кирпича: 25 см, 12 см, 6 см.
Объем одного кирпича $V_{кирп}$:$V_{кирп} = 25 \text{ см} \times 12 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 300 \text{ см}^2 \times 6 \text{ см} = 1800 \text{ см}^3$.

2. Вычисление общего объема всех кирпичей.
Стена выложена из 10 000 кирпичей. Найдем их суммарный объем $V_{всех\_кирп}$:$V_{всех\_кирп} = V_{кирп} \times 10000 = 1800 \text{ см}^3 \times 10000 = 18\ 000\ 000 \text{ см}^3$.

3. Вычисление итогового объема стены с учетом раствора.
По условию, раствор увеличивает объем на 15%. Это означает, что объем раствора составляет 15% от объема кирпичей, а итоговый объем стены равен объему кирпичей плюс объем раствора. Это эквивалентно увеличению объема кирпичей на 15%, то есть итоговый объем составит $100\% + 15\% = 115\%$ от объема кирпичей.Для расчета итогового объема $V_{стены}$ умножим общий объем кирпичей на 1,15:$V_{стены} = V_{всех\_кирп} \times 1.15 = 18\ 000\ 000 \text{ см}^3 \times 1.15 = 20\ 700\ 000 \text{ см}^3$.

4. Перевод объема в кубические метры.
Для удобства восприятия переведем объем из кубических сантиметров в кубические метры. Зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, получаем $1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1\ 000\ 000 \text{ см}^3$.$V_{стены} = \frac{20\ 700\ 000 \text{ см}^3}{1\ 000\ 000 \text{ см}^3/\text{м}^3} = 20.7 \text{ м}^3$.
Ответ: $20.7 \text{ м}^3$.

12.20. Три свинцовых куба с ребрами 1 см, 6 см и 8 см переплавили в один куб. Найдите длину ребра полученного куба.

Для решения этой задачи необходимо использовать принцип сохранения объема. При переплавке нескольких тел в одно новое тело, объем нового тела равен сумме объемов исходных тел (при условии, что плотность материала не меняется и потерь нет).

Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – это длина ребра куба.

1. Найдем объемы трех исходных свинцовых кубов.

Объем первого куба с ребром $a_1 = 1$ см:
$V_1 = 1^3 = 1$ см$^3$.

Объем второго куба с ребром $a_2 = 6$ см:
$V_2 = 6^3 = 216$ см$^3$.

Объем третьего куба с ребром $a_3 = 8$ см:
$V_3 = 8^3 = 512$ см$^3$.

2. Найдем объем нового куба.

Объем полученного куба ($V_{новый}$) будет равен сумме объемов трех исходных кубов:
$V_{новый} = V_1 + V_2 + V_3 = 1 + 216 + 512 = 729$ см$^3$.

3. Найдем длину ребра полученного куба.

Пусть длина ребра нового куба равна $a_{новый}$. Его объем также вычисляется по формуле $V_{новый} = a_{новый}^3$. Подставим известное значение объема:
$a_{новый}^3 = 729$.

Чтобы найти длину ребра, извлечем кубический корень из объема:
$a_{новый} = \sqrt[3]{729} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

12.21. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на $98 \, \text{см}^3$. Определите ребро куба.

12.21. Пусть исходная длина ребра куба равна $a$ см. Тогда его объем $V_1$ составляет $V_1 = a^3$ см³.

После увеличения каждого ребра на 2 см, новая длина ребра стала $(a+2)$ см, а новый объем $V_2$ стал равен $V_2 = (a+2)^3$ см³.

По условию задачи, новый объем на 98 см³ больше исходного. Это можно записать в виде уравнения:

$V_2 - V_1 = 98$

Подставим выражения для объемов:

$(a+2)^3 - a^3 = 98$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:

$(a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3) - a^3 = 98$

$a^3 + 6a^2 + 12a + 8 - a^3 = 98$

Приведем подобные слагаемые:

$6a^2 + 12a + 8 = 98$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$:

$6a^2 + 12a + 8 - 98 = 0$

$6a^2 + 12a - 90 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 6:

$a^2 + 2a - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна -2, а их произведение равно -15. Отсюда находим корни:

$a_1 = 3$

$a_2 = -5$

Поскольку длина ребра куба не может быть отрицательной величиной, корень $a_2 = -5$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, искомая длина ребра куба равна 3 см.

Ответ: 3 см.

12.22. В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см (рис. 12.10). Найдите объем оставшейся части.

Рис. 12.10

Для нахождения объема оставшейся части куба необходимо из первоначального объема куба вычесть объем вырезанной части.

1. Сначала вычислим первоначальный объем куба. Длина ребра куба $a = 6$ см. Объем куба находится по формуле $V_{куба} = a^3$.
$V_{куба} = 6^3 = 216$ см³.

2. Теперь найдем объем вырезанной части. Через куб проходят три сквозных отверстия, перпендикулярных друг другу. Каждое отверстие представляет собой прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием $2 \times 2$ см и длиной $6$ см. Объем вырезанной части можно найти двумя способами.

Способ 1: Использование принципа включений-исключений.
Объем одного сквозного отверстия (параллелепипеда) равен $V_п = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 24$ см³. Если просто умножить этот объем на 3 (по количеству отверстий), то мы вычтем объем центральной части, где отверстия пересекаются, трижды, хотя должны вычесть только один раз. Поэтому необходимо скорректировать расчет.
Объем вырезанной части $V_{выр}$ равен сумме объемов трех параллелепипедов минус объемы их попарных пересечений плюс объем их общего тройного пересечения.
$V_{выр} = 3 \cdot V_п - 3 \cdot V_{перес.двух} + V_{перес.трех}$
Область пересечения любых двух отверстий — это центральный куб со стороной 2 см. Его объем $V_{перес.двух} = 2^3 = 8$ см³.
Область пересечения всех трех отверстий — это тот же самый центральный куб, поэтому $V_{перес.трех} = 2^3 = 8$ см³.
Подставляем значения:
$V_{выр} = 3 \cdot 24 - 3 \cdot 8 + 8 = 72 - 24 + 8 = 56$ см³.

Способ 2: Разложение вырезанной фигуры на части.
Вырезанную фигуру можно представить состоящей из центрального куба (место пересечения всех отверстий) и шести "лучей", отходящих от его граней.
- Объем центрального куба со стороной 2 см: $V_{центр} = 2^3 = 8$ см³.
- Каждый из шести "лучей" является параллелепипедом с основанием $2 \times 2$ см. Длина каждого луча равна половине разности между ребром большого куба и ребром центрального куба: $(6 - 2) / 2 = 2$ см.
- Объем одного луча: $V_{луч} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ см³.
- Суммарный объем шести лучей: $6 \cdot V_{луч} = 6 \cdot 8 = 48$ см³.
- Общий объем вырезанной части: $V_{выр} = V_{центр} + 6 \cdot V_{луч} = 8 + 48 = 56$ см³.

3. Наконец, найдем объем оставшейся части куба.
$V_{ост} = V_{куба} - V_{выр} = 216 - 56 = 160$ см³.

Ответ: $160$ см³.