Страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.12 Найдите объемы деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 12.4.

а) Объем фигуры а): $V_a = 3 \times 2 \times 2 - 1 \times 1 \times 1 = 11$

б) Объем фигуры б): $V_b = 2 \times 2 \times 1 + 2 \times 1 \times 1 = 6$

Рис. 12.4

a) Для нахождения объема данной детали можно использовать метод вычитания. Представим деталь как большой прямоугольный параллелепипед, из которого вырезали меньший параллелепипед.
1. Сначала найдем объем большого параллелепипеда, который вмещает в себя всю деталь. Его размеры, согласно рисунку, составляют: длина = 3, ширина = 2, высота = 2.
Объем этого большого параллелепипеда $V_{общий}$ рассчитывается по формуле:
$V_{общий} = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота} = 3 \times 2 \times 2 = 12$ кубических единиц.
2. Теперь определим размеры вырезанной части (выемки). Это также прямоугольный параллелепипед.
- Его ширина (глубина) равна ширине всей детали, то есть 2.
- Его длина равна общей длине (3) минус длины боковых стенок (1 и 1): $3 - 1 - 1 = 1$.
- Его высота равна общей высоте (2) минус высота нижней части (1): $2 - 1 = 1$.
Объем вырезанной части $V_{выемки}$ равен:
$V_{выемки} = 1 \times 2 \times 1 = 2$ кубические единицы.
3. Чтобы найти объем детали, вычтем объем выемки из общего объема:
$V_{детали} = V_{общий} - V_{выемки} = 12 - 2 = 10$ кубических единиц.
Ответ: 10

б) Для нахождения объема этой детали удобно разбить ее на два прямоугольных параллелепипеда и сложить их объемы.
1. Разобьем деталь на два блока: задний высокий блок ($V_1$) и передний низкий блок ($V_2$).
2. Найдем объем заднего высокого блока ($V_1$). Согласно размерам на рисунке:
- Высота = 2 (указана на левой грани).
- Ширина = 2 (указана на нижнем пунктирном ребре).
- Глубина = 1 (указана на верхней грани).
Объем этого блока:
$V_1 = 2 \times 2 \times 1 = 4$ кубические единицы.
3. Теперь найдем объем переднего низкого блока ($V_2$).
- Высота = 1 (указана на передней правой грани).
- Ширина = 2 (указана на передней нижней грани).
- Глубина этого блока равна общей глубине детали (2, указана на правой боковой грани) минус глубина заднего блока (1): $2 - 1 = 1$.
Объем этого блока:
$V_2 = 2 \times 1 \times 1 = 2$ кубические единицы.
4. Общий объем детали равен сумме объемов двух блоков:
$V_{детали} = V_1 + V_2 = 4 + 2 = 6$ кубических единиц.
Ответ: 6

12.13 Найдите объемы деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 12.5.

а) $V = (3 \times 2 \times 2) - (1 \times 1 \times 1) = 12 - 1 = 11$

б) $V = (3 \times 2 \times 2) - (1 \times 2 \times 1) = 12 - 2 = 10$

Рис. 12.5

а)

Для нахождения объема детали, изображенной на рисунке а), можно разбить ее на два прямоугольных параллелепипеда и сложить их объемы. Удобнее всего разделить деталь на нижнее основание и верхний блок.

1. Найдем объем нижнего основания. Его размеры, согласно рисунку: длина равна 3, ширина (глубина) равна 2, а высота равна 1 (так как общая высота 2, а высота верхнего блока 1). Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = l \times w \times h$.

Объем основания: $V_{основание} = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

2. Найдем объем верхнего блока, который расположен на левой части основания. Его размеры: длина равна 1, ширина (глубина) равна 2, а высота также равна 1.

Объем верхнего блока: $V_{верх} = 1 \times 2 \times 1 = 2$.

3. Общий объем детали равен сумме объемов основания и верхнего блока.

$V_{общий} = V_{основание} + V_{верх} = 6 + 2 = 8$.

Ответ: 8.

б)

Для нахождения объема детали, изображенной на рисунке б), также применим метод разбиения на части. Можно заметить, что на рисунке есть возможное несоответствие в указании размеров: общая длина детали равна 3, а длины верхних частей слева и справа — по 1. Из этого следует, что длина центрального выреза должна быть $3 - 1 - 1 = 1$. Указанное в вырезе число 2, скорее всего, относится к глубине детали, которая также равна 2.

Разобьем деталь на три части: общее нижнее основание и два верхних блока.

1. Найдем объем нижнего основания. Его размеры: длина равна 3, ширина (глубина) равна 2. Его высота равна 1, так как общая высота детали 2, а высота выреза, судя по вертикальному ребру, равна 1.

Объем основания: $V_{основание} = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

2. Найдем объем двух одинаковых верхних блоков, расположенных по бокам. Размеры каждого блока: длина равна 1, ширина (глубина) равна 2, а высота равна 1.

Объем одного верхнего блока: $V_{верх} = 1 \times 2 \times 1 = 2$.

3. Общий объем детали равен сумме объема основания и объемов двух верхних блоков.

$V_{общий} = V_{основание} + 2 \times V_{верх} = 6 + 2 \times 2 = 6 + 4 = 10$.

Проверить результат можно методом вычитания: из объема большого параллелепипеда ($3 \times 2 \times 2 = 12$) вычесть объем вырезанной части ($1 \times 2 \times 1 = 2$). Получим $12 - 2 = 10$.

Ответ: 10.

12.14 Ребра прямоугольного параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ выходящие из одной вершины, равны 5 см, 4 см, 3 см. Найдите объем треугольной призмы $ABCA_1 B_1 C_1$ (рис. 12.6).

Рис. 12.6

Для нахождения объема треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ используется формула $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

В данной задаче основанием призмы является треугольник $ABC$, а ее высотой является боковое ребро, перпендикулярное основанию, например, $AA_1$.

По условию, $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед. Ребра, выходящие из одной вершины (пусть это будет вершина А), равны 5 см, 4 см и 3 см. Сопоставим эти длины с ребрами на рисунке: $AB = 5$ см, $AD = 4$ см, $AA_1 = 3$ см.

Высота призмы $h$ равна длине ребра $AA_1$, то есть $h = 3$ см.

Основание призмы — треугольник $ABC$. Так как параллелепипед прямоугольный, его основание $ABCD$ является прямоугольником. Следовательно, угол $\angle ABC$ — прямой, а треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. Катетами треугольника $ABC$ являются стороны $AB$ и $BC$. Длина катета $AB$ равна 5 см. Длина катета $BC$ равна длине стороны $AD$, поскольку $ABCD$ — прямоугольник. Таким образом, $BC = AD = 4$ см.

Вычислим площадь основания призмы $S_{осн}$:$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 10 \text{ см}^2$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объем призмы:$V = S_{осн} \cdot h = 10 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 30 \text{ см}^3$.

Ответ: $30 \text{ см}^3$.

12.15. Ребра прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, выходящие из одной вершины, равны 5 см, 4 см, 3 см. Найдите объем треугольной призмы $ABOA_1B_1O_1$ (рис. 12.7).

Рис. 12.7

По условию задачи, нам дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Ребра, выходящие из одной вершины, равны 5 см, 4 см и 3 см. Пусть это будут ребра, выходящие из вершины $A$. Тогда их длины: $AB = 5$ см, $AD = 4$ см и $AA_1 = 3$ см.

Нам необходимо найти объем треугольной призмы $ABOA_1B_1O_1$. Объем любой призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{основания} \times h$

где $S_{основания}$ — площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

В данном случае, основанием призмы является треугольник $ABO$, а высотой — ребро $AA_1$, так как призма является прямой (ее боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $OO_1$ перпендикулярны основанию). Таким образом, высота призмы $h = AA_1 = 3$ см.

Найдем площадь основания — треугольника $ABO$. Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$, который лежит в основании параллелепипеда. Диагонали прямоугольника делят его на четыре равновеликих (имеющих равную площадь) треугольника.

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна произведению его сторон:

$S_{ABCD} = AB \times AD = 5 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$

Площадь треугольника $ABO$ составляет одну четвертую от площади прямоугольника $ABCD$:

$S_{ABO} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \times 20 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2$

Теперь, зная площадь основания и высоту призмы, мы можем вычислить ее объем:

$V_{ABOA_1B_1O_1} = S_{ABO} \times h = 5 \text{ см}^2 \times 3 \text{ см} = 15 \text{ см}^3$

Ответ: $15 \text{ см}^3$.