Номер 13.12, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.12 Основание прямой призмы — ромб, площадь которого равна 1 $\text{м}^2$. Площади диагональных сечений равны 3 $\text{м}^2$ и 6 $\text{м}^2$ (рис. 13.7). Найдите объем призмы.

Рис. 13.7

Пусть основание прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — это ромб $ABCD$. Обозначим его диагонали как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$, а высоту призмы — $h$.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания. По условию, площадь ромба $S_{осн} = 1 \text{ м}^2$. Следовательно, для нахождения объема нам достаточно найти высоту призмы $h$, так как $V = 1 \cdot h = h$.

Площадь ромба также выражается через его диагонали: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Подставив известное значение площади, получаем первое уравнение: $\frac{1}{2} d_1 d_2 = 1$, откуда следует, что $d_1 d_2 = 2$.

Диагональные сечения прямой призмы являются прямоугольниками. В нашем случае это сечения $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$. Их площади равны произведению соответствующей диагонали основания на высоту призмы. По условию, площади этих сечений равны $3 \text{ м}^2$ и $6 \text{ м}^2$. Запишем это в виде уравнений:

$S_1 = d_1 \cdot h = 3$

$S_2 = d_2 \cdot h = 6$

Таким образом, мы имеем систему из трех уравнений:

1) $d_1 d_2 = 2$

2) $d_1 h = 3$

3) $d_2 h = 6$

Для решения этой системы перемножим второе и третье уравнения: $(d_1 h) \cdot (d_2 h) = 3 \cdot 6$ $d_1 d_2 h^2 = 18$

Теперь воспользуемся первым уравнением ($d_1 d_2 = 2$) и подставим это значение в полученное выражение: $2 \cdot h^2 = 18$

$h^2 = \frac{18}{2} = 9$

$h = \sqrt{9} = 3 \text{ м}$ (высота является положительной величиной).

Зная высоту, находим объем призмы: $V = S_{осн} \cdot h = 1 \text{ м}^2 \cdot 3 \text{ м} = 3 \text{ м}^3$.

Ответ: $3 \text{ м}^3$.