Номер 13.13, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.13. Три грани параллелепипеда, имеющие общую вершину, являются ромбами со сторонами 1 см и острыми углами при этой вершине $60^\circ$ (рис. 13.8). Найдите объем параллелепипеда.

Рис. 13.8

Объем параллелепипеда $V$ можно найти по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

В качестве основания выберем грань $ABCD$. По условию, это ромб со стороной $a = 1$ см и острым углом $\alpha = 60°$ при общей вершине $A$. Площадь ромба вычисляется по формуле $S = a^2 \sin \alpha$.

Найдем площадь основания:

$S_{осн} = S_{ABCD} = 1^2 \cdot \sin(60°) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см².

Теперь найдем высоту параллелепипеда $H$. Высота — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Обозначим этот перпендикуляр как $A_1O$, где $O$ — проекция точки $A_1$ на плоскость $ABCD$.

Рассмотрим три грани с общей вершиной $A$: $ABCD$, $AA_1B_1B$ и $AA_1D_1D$. Все они по условию являются ромбами со стороной 1 см и острым углом $60°$ при вершине $A$. Это означает, что $\angle DAB = \angle A_1AB = \angle A_1AD = 60°$ и ребра, выходящие из вершины $A$, равны: $AB = AD = AA_1 = 1$ см.

Рассмотрим треугольник $A_1AD$. Он равнобедренный ($AA_1 = AD = 1$ см) с углом $60°$ между этими сторонами. Следовательно, треугольник $A_1AD$ является равносторонним, и его третья сторона $A_1D$ также равна 1 см. Аналогично, треугольник $A_1AB$ также равносторонний, и $A_1B = 1$ см.

Так как $O$ — это проекция точки $A_1$ на плоскость $ABCD$, то отрезок $A_1O$ перпендикулярен этой плоскости. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle A_1OA$, $\triangle A_1OB$ и $\triangle A_1OD$. Они имеют общий катет $A_1O$ (высота $H$). Их гипотенузы равны: $AA_1 = 1$ см, $A_1B = 1$ см, $A_1D = 1$ см. По теореме Пифагора для этих треугольников: $OA^2 = AA_1^2 - A_1O^2$, $OB^2 = A_1B^2 - A_1O^2$, $OD^2 = A_1D^2 - A_1O^2$. Поскольку гипотенузы равны, то равны и вторые катеты: $OA = OB = OD$.

Равенство расстояний $OA = OB = OD$ означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$ в основании. Он равнобедренный ($AB = AD = 1$ см) с углом $\angle DAB = 60°$ между равными сторонами. Следовательно, $\triangle ABD$ является равносторонним, и все его стороны равны 1 см. Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. В нашем случае $a=1$ см, поэтому радиус $R = OA = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle A_1OA$ найдем высоту $H = A_1O$ по теореме Пифагора: $H^2 = AA_1^2 - OA^2$.

$H^2 = 1^2 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$H = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Наконец, вычислим объем параллелепипеда, зная площадь основания и высоту:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{3 \cdot 6}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см³.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см³.