Номер 13.8, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.8. Объем треугольной призмы равен 12 $см^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы (рис. 13.4).

Рис. 13.4

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

Пусть объем исходной треугольной призмы, назовем ее $P_1$, равен $V_1$. Площадь ее основания (например, треугольника $ABC$) обозначим как $S_1$, а высоту — как $h$. Согласно условию задачи, нам дано:$V_1 = S_1 \cdot h = 12 \, \text{см}^3$.

Теперь рассмотрим новую призму, назовем ее $P_2$. Ее основаниями являются треугольники, вершины которых — середины сторон оснований исходной призмы $P_1$. Это означает, что высота новой призмы $P_2$ совпадает с высотой исходной призмы $P_1$, то есть она также равна $h$.

Основание новой призмы — это треугольник, образованный средними линиями треугольника, являющегося основанием исходной призмы. Обозначим площадь нового основания как $S_2$.

Из курса планиметрии известно, что треугольник, образованный средними линиями другого треугольника, подобен ему. Коэффициент подобия этих треугольников равен $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Следовательно, мы можем найти соотношение между площадями оснований $S_2$ и $S_1$:$ \frac{S_2}{S_1} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $

Отсюда площадь основания новой призмы составляет четверть от площади основания исходной призмы:$ S_2 = \frac{1}{4} S_1 $

Теперь мы можем вычислить объем новой призмы $V_2$:$ V_2 = S_2 \cdot h $

Подставим выражение для $S_2$:$ V_2 = (\frac{1}{4} S_1) \cdot h = \frac{1}{4} (S_1 \cdot h) $

Мы знаем, что $S_1 \cdot h = V_1 = 12 \, \text{см}^3$. Подставим это значение в формулу для $V_2$:$ V_2 = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 \, \text{см}^3 $

Таким образом, объем новой призмы равен $3 \, \text{см}^3$.

Ответ: 3 см³.