Страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что площадь сферы равна площади боковой поверхности цилиндра, описанного около этой сферы.

Для доказательства этого утверждения нам понадобятся формулы площади поверхности сферы и площади боковой поверхности цилиндра.

1. Площадь сферы

Пусть радиус сферы равен $R$. Площадь поверхности сферы ($S_{сферы}$) вычисляется по формуле:

$S_{сферы} = 4\pi R^2$

2. Параметры описанного цилиндра

Цилиндр описан около сферы. Это означает, что сфера касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Из этого условия следуют параметры цилиндра:

- Радиус основания цилиндра ($r_{цил}$) равен радиусу сферы: $r_{цил} = R$.

- Высота цилиндра ($h_{цил}$) равна диаметру сферы: $h_{цил} = 2R$.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок.}$) вычисляется по формуле:

$S_{бок.} = 2\pi r_{цил} h_{цил}$

Подставим в эту формулу найденные значения радиуса и высоты цилиндра:

$S_{бок.} = 2\pi \cdot R \cdot (2R) = 4\pi R^2$

4. Сравнение площадей

Сравним полученные выражения для площади сферы и площади боковой поверхности описанного цилиндра:

$S_{сферы} = 4\pi R^2$

$S_{бок.} = 4\pi R^2$

Таким образом, $S_{сферы} = S_{бок.}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь сферы ($S_{сферы} = 4\pi R^2$) действительно равна площади боковой поверхности описанного около нее цилиндра ($S_{бок.} = 4\pi R^2$).

Вопросы

1. Какое число считается площадью сферы?

2. Что называется площадью поверхности шара?

3. Как вычисляется площадь сферы радиусом $R$?

1. Какое число считается площадью сферы?

Площадью сферы называется положительное число, которое является мерой величины ее поверхности. В математике это число определяется как предел, к которому стремится площадь поверхности многогранника, вписанного в сферу (или описанного около нее), при условии, что число граней этого многогранника неограниченно возрастает, а размеры каждой грани стремятся к нулю. Этот предел всегда существует и не зависит от конкретной последовательности многогранников, используемых для аппроксимации.

Ответ: Площадью сферы считается число, равное пределу площади поверхности вписанного в нее (или описанного около нее) многогранника при стремлении наибольшего размера его граней к нулю.

2. Что называется площадью поверхности шара?

Шар представляет собой геометрическое тело, ограниченное сферой. Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек в пространстве, равноудаленных от данной точки (центра). Таким образом, площадь поверхности шара — это площадь той сферы, которая его ограничивает. В практических задачах и в математике термины "площадь сферы" и "площадь поверхности шара" для одного и того же радиуса являются синонимами.

Ответ: Площадью поверхности шара называется площадь ограничивающей его сферы.

3. Как вычисляется площадь сферы радиусом R?

Площадь сферы, обозначаемая как $S$, с радиусом $R$, вычисляется по знаменитой формуле, которая была выведена еще Архимедом. Эта площадь ровно в четыре раза больше площади большого круга сферы (то есть круга, плоскость которого проходит через центр сферы и имеет тот же радиус $R$). Формула для вычисления площади сферы следующая:

$S = 4\pi R^2$

Здесь $R$ — это радиус сферы, а $\pi$ (пи) — это математическая константа, приблизительно равная 3,14159.

Ответ: Площадь сферы радиусом $R$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

11.1. Найдите площадь сферы радиусом 1 см.

11.1. Для нахождения площади поверхности сферы используется формула:

$S = 4\pi R^2$

где $S$ — это площадь поверхности, а $R$ — радиус сферы.

По условию задачи, радиус сферы равен $R = 1 \text{ см}$.

Подставим данное значение радиуса в формулу:

$S = 4\pi \cdot (1 \text{ см})^2$

$S = 4\pi \cdot 1 \text{ см}^2$

$S = 4\pi \text{ см}^2$

Таким образом, площадь сферы с радиусом 1 см равна $4\pi$ квадратных сантиметров.

Ответ: $4\pi \text{ см}^2$.

11.2. Найдите радиус сферы, площадь которой равна 1 $cm^2$.

11.2. Площадь поверхности сферы $S$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ — это радиус сферы.

Согласно условию задачи, площадь сферы $S = 1$ см².

Подставим известное значение площади в формулу и получим уравнение:

$1 = 4\pi R^2$

Теперь выразим из этого уравнения радиус $R$. Сначала найдем $R^2$:

$R^2 = \frac{1}{4\pi}$

Чтобы найти $R$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку радиус является положительной величиной, мы рассматриваем только арифметический корень:

$R = \sqrt{\frac{1}{4\pi}}$

Упростим выражение:

$R = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4\pi}} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$

Таким образом, радиус сферы равен $\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$ см.

Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$ см.

11.3. Площадь большого круга шара равна 3 $cm^2$. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь большого круга шара, который является сечением шара плоскостью, проходящей через его центр, вычисляется по формуле площади круга. Пусть $R$ — это радиус шара и, соответственно, радиус большого круга.

Формула площади большого круга ($S_{кр}$):

$S_{кр} = \pi R^2$

По условию задачи, нам дано значение этой площади:

$S_{кр} = 3 \text{ см}^2$

Следовательно, мы имеем равенство:

$\pi R^2 = 3 \text{ см}^2$

Нам необходимо найти площадь поверхности шара ($S_{шара}$). Формула для вычисления площади поверхности шара с радиусом $R$ выглядит следующим образом:

$S_{шара} = 4 \pi R^2$

Теперь мы можем связать две формулы. Заметим, что формула площади поверхности шара содержит выражение $\pi R^2$, которое нам уже известно.

Подставим значение $\pi R^2 = 3 \text{ см}^2$ в формулу для площади поверхности шара:

$S_{шара} = 4 \times (\pi R^2) = 4 \times 3 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$

Таким образом, площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его большого круга.

Ответ: $12 \text{ см}^2$.

11.4 Как изменится площадь поверхности шара, если увеличить радиус шара в:

а) 2 раза;

б) 3 раза;

в) $n$ раз?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади поверхности шара (сферы):

$S = 4\pi R^2$

где $S$ — площадь поверхности, а $R$ — радиус шара. Эта формула показывает, что площадь поверхности шара прямо пропорциональна квадрату его радиуса.

Пусть $S_1$ — начальная площадь поверхности шара с радиусом $R_1$, а $S_2$ — новая площадь поверхности с радиусом $R_2$.

а) Увеличить радиус в 2 раза.

В этом случае новый радиус $R_2 = 2R_1$.

Найдем новую площадь поверхности $S_2$:

$S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (2R_1)^2 = 4\pi (4R_1^2) = 4 \cdot (4\pi R_1^2)$

Так как $S_1 = 4\pi R_1^2$, то получаем:

$S_2 = 4S_1$

Это означает, что площадь поверхности увеличится в 4 раза.

Ответ: увеличится в 4 раза.

б) Увеличить радиус в 3 раза.

В этом случае новый радиус $R_2 = 3R_1$.

Найдем новую площадь поверхности $S_2$:

$S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (3R_1)^2 = 4\pi (9R_1^2) = 9 \cdot (4\pi R_1^2)$

Так как $S_1 = 4\pi R_1^2$, то получаем:

$S_2 = 9S_1$

Это означает, что площадь поверхности увеличится в 9 раз.

Ответ: увеличится в 9 раз.

в) Увеличить радиус в $n$ раз.

По аналогии с предыдущими пунктами, новый радиус $R_2 = nR_1$.

Найдем новую площадь поверхности $S_2$:

$S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (nR_1)^2 = 4\pi (n^2 R_1^2) = n^2 \cdot (4\pi R_1^2)$

Так как $S_1 = 4\pi R_1^2$, то получаем:

$S_2 = n^2 S_1$

Это означает, что площадь поверхности увеличится в $n^2$ раз.

Ответ: увеличится в $n^2$ раз.

11.5. Площади поверхностей двух шаров относятся как 4 : 9. Найдите

отношение их радиусов.

11.5. Пусть $r_1$ и $r_2$ — это радиусы двух шаров, а $S_1$ и $S_2$ — площади их поверхностей. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$, где $r$ — это радиус шара.

Согласно условию задачи, отношение площадей поверхностей двух шаров составляет 4 : 9. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9}$

Подставим в это уравнение формулы для площадей поверхностей шаров:

$\frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{4}{9}$

Сократим общий множитель $4\pi$ в числителе и знаменателе левой части уравнения:

$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{9}$

Данное выражение можно переписать следующим образом:

$\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \frac{4}{9}$

Чтобы найти искомое отношение радиусов $\frac{r_1}{r_2}$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как радиус не может быть отрицательной величиной, мы рассматриваем только арифметический (положительный) корень:

$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$

Таким образом, отношение радиусов двух шаров равно 2 к 3.

Ответ: 2 : 3

11.6. Радиусы двух шаров равны 6 см и 8 см. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Пусть радиусы двух данных шаров равны $r_1 = 6$ см и $r_2 = 8$ см. Обозначим искомый радиус нового шара как $R$.
Формула для вычисления площади поверхности шара с радиусом $r$ имеет вид: $S = 4\pi r^2$.
По условию задачи, площадь поверхности нового шара $S$ равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров, $S_1$ и $S_2$. Запишем это соотношение в виде уравнения:
$S = S_1 + S_2$
Теперь подставим в это уравнение формулы площадей поверхностей, выраженные через их радиусы:
$4\pi R^2 = 4\pi r_1^2 + 4\pi r_2^2$
Чтобы найти $R$, можно упростить уравнение, разделив обе его части на $4\pi$:
$R^2 = r_1^2 + r_2^2$
Подставим в полученное выражение числовые значения радиусов $r_1$ и $r_2$:
$R^2 = 6^2 + 8^2$
$R^2 = 36 + 64$
$R^2 = 100$
Так как радиус шара является положительной величиной, извлечем квадратный корень из 100:
$R = \sqrt{100} = 10$ см.
Ответ: 10 см.

11.7. Около шара описан цилиндр. Найдите отношение площади поверхности шара к площади боковой поверхности цилиндра.

11.7. Обозначим радиус шара как $R$.

Согласно условию, цилиндр описан около шара. Это означает, что шар касается оснований цилиндра и его боковой поверхности. Из этого следует, что радиус основания цилиндра равен радиусу шара ($r = R$), а высота цилиндра равна диаметру шара ($H = 2R$).

Площадь поверхности шара ($S_{шара}$) вычисляется по формуле: $S_{шара} = 4\pi R^2$

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок. цил.}$) вычисляется по формуле $S_{бок. цил.} = 2\pi rH$. Подставим в эту формулу найденные ранее соотношения для радиуса и высоты цилиндра: $S_{бок. цил.} = 2\pi \cdot R \cdot (2R) = 4\pi R^2$

Теперь найдем искомое отношение площади поверхности шара к площади боковой поверхности цилиндра: $\frac{S_{шара}}{S_{бок. цил.}} = \frac{4\pi R^2}{4\pi R^2} = 1$

Ответ: 1

11.8. Найдите площадь поверхности сферы, вписанной в цилиндр, осевым сечением которого является единичный квадрат.

11.8. По условию, осевым сечением цилиндра является единичный квадрат. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра `$h$` и диаметр его основания `$d$`. Поскольку это единичный квадрат, его стороны равны 1. Таким образом, высота цилиндра `$h=1$` и диаметр его основания `$d=1$`.
Сфера вписана в цилиндр, если она касается его верхнего и нижнего оснований, а также его боковой поверхности. Это означает, что диаметр вписанной сферы `$D_{сф}$` равен высоте цилиндра `$h$` и диаметру его основания `$d$`. Следовательно, `$D_{сф} = h = d = 1$`.
Радиус сферы `$R_{сф}$` равен половине ее диаметра: `$R_{сф} = \frac{D_{сф}}{2} = \frac{1}{2}$`.
Площадь поверхности сферы `$S$` вычисляется по формуле `$S = 4\pi R^2$`. Подставим в эту формулу найденное значение радиуса вписанной сферы:
`$S = 4\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4\pi \cdot \frac{1}{4} = \pi$`.
Ответ: $\pi$.