Страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.15 Образующая конуса равна 1 см и составляет с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите радиус:

а) описанной;

б) вписанной сферы.

Дано: образующая конуса $l = 1$ см, угол между образующей и плоскостью основания $\alpha = 30^\circ$.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна образующей $l$, а угол при основании равен $\alpha$. Пусть $r$ — радиус основания конуса, а $h$ — его высота. Они являются катетами прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза — это образующая $l$.
Найдем радиус основания и высоту конуса:
$r = l \cdot \cos\alpha = 1 \cdot \cos30^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
$h = l \cdot \sin\alpha = 1 \cdot \sin30^\circ = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см.

а) описанной сферы

Сфера называется описанной около конуса, если вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности сферы. Центр описанной сферы лежит на оси конуса. Радиус описанной сферы $R$ — это радиус окружности, описанной около осевого сечения конуса.
Для конуса существует формула, связывающая радиус описанной сферы $R$ с образующей $l$ и высотой $h$:
$R = \frac{l^2}{2h}$
Подставим наши значения:
$R = \frac{1^2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1} = 1$ см.
Ответ: 1 см.

б) вписанной сферы

Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса и всех его образующих. Центр вписанной сферы лежит на оси конуса, а ее радиус $\rho$ равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса.
Радиус $\rho$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания конуса $r$, радиусом вписанной сферы $\rho$ и отрезком на оси конуса. Угол между радиусом основания и образующей в осевом сечении равен $\alpha = 30^\circ$. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе этого угла. Таким образом, получаем соотношение:
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\rho}{r}$
Отсюда:
$\rho = r \cdot \tan\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = r \cdot \tan(15^\circ)$
Вычислим значение $\tan(15^\circ)$, используя формулу тангенса разности:
$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3-\sqrt{3})$:
$\tan(15^\circ) = \frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$
Теперь найдем радиус вписанной сферы:
$\rho = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (2 - \sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ см.
Ответ: $\frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ см.

10.16. Повторите определение длины окружности и формулу для вы-
числения длины окружности.

Определение длины окружности

Длина окружности — это числовое значение, которое представляет собой полную длину замкнутой кривой, образующей окружность. Проще говоря, это расстояние, которое пройдет точка на окружности, если совершит один полный оборот. Если представить, что окружность сделана из нити, то ее длина будет равна длине этой нити, если ее разрезать и выпрямить в отрезок.

В геометрии длина окружности строго определяется как предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в эту окружность (или описанных около нее), когда число их сторон неограниченно возрастает.

Важнейшее свойство окружности заключается в том, что отношение ее длины к диаметру является постоянной величиной для абсолютно любой окружности. Эта постоянная величина является иррациональным числом и носит название «пи», обозначается греческой буквой $ \pi $.

Ответ: Длина окружности — это длина линии, которая ее образует. Она определяется как предел периметров правильных вписанных многоугольников при бесконечном увеличении числа их сторон. Отношение длины окружности к ее диаметру постоянно и равно числу $ \pi $.

Формула для вычисления длины окружности

Исходя из определения числа $ \pi $ как отношения длины окружности $ C $ к ее диаметру $ D $ ($ \pi = \frac{C}{D} $), можно вывести основные формулы для ее вычисления.

1. Через диаметр ($ D $). Если выразить длину окружности $ C $ из указанного выше отношения, получим формулу:

$ C = \pi D $

2. Через радиус ($ R $). Так как диаметр окружности в два раза больше ее радиуса ($ D = 2R $), можно подставить это выражение в предыдущую формулу и получить формулу для вычисления длины окружности через радиус:

$ C = \pi \cdot (2R) = 2 \pi R $

В этих формулах используются следующие обозначения: $ C $ — длина окружности; $ R $ — радиус окружности; $ D $ — диаметр окружности; $ \pi $ — математическая константа, значение которой приблизительно равно $ 3,14159... $

Ответ: Для вычисления длины окружности $ C $ используются две основные формулы: $ C = 2 \pi R $ (если известен радиус $ R $) и $ C = \pi D $ (если известен диаметр $ D $).