Номер 10.15, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.15 Образующая конуса равна 1 см и составляет с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите радиус:

а) описанной;

б) вписанной сферы.

Дано: образующая конуса $l = 1$ см, угол между образующей и плоскостью основания $\alpha = 30^\circ$.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна образующей $l$, а угол при основании равен $\alpha$. Пусть $r$ — радиус основания конуса, а $h$ — его высота. Они являются катетами прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза — это образующая $l$.
Найдем радиус основания и высоту конуса:
$r = l \cdot \cos\alpha = 1 \cdot \cos30^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
$h = l \cdot \sin\alpha = 1 \cdot \sin30^\circ = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см.

а) описанной сферы

Сфера называется описанной около конуса, если вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности сферы. Центр описанной сферы лежит на оси конуса. Радиус описанной сферы $R$ — это радиус окружности, описанной около осевого сечения конуса.
Для конуса существует формула, связывающая радиус описанной сферы $R$ с образующей $l$ и высотой $h$:
$R = \frac{l^2}{2h}$
Подставим наши значения:
$R = \frac{1^2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1} = 1$ см.
Ответ: 1 см.

б) вписанной сферы

Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса и всех его образующих. Центр вписанной сферы лежит на оси конуса, а ее радиус $\rho$ равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса.
Радиус $\rho$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания конуса $r$, радиусом вписанной сферы $\rho$ и отрезком на оси конуса. Угол между радиусом основания и образующей в осевом сечении равен $\alpha = 30^\circ$. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе этого угла. Таким образом, получаем соотношение:
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\rho}{r}$
Отсюда:
$\rho = r \cdot \tan\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = r \cdot \tan(15^\circ)$
Вычислим значение $\tan(15^\circ)$, используя формулу тангенса разности:
$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3-\sqrt{3})$:
$\tan(15^\circ) = \frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$
Теперь найдем радиус вписанной сферы:
$\rho = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (2 - \sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ см.
Ответ: $\frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ см.