Номер 10.11, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.11. Выразите радиус $r$ сферы, вписанной в конус, через его высоту $h$ и радиус $r_0$ окружности основания.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанной в него сферы. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением сферы — большой круг, который вписан в этот треугольник. Радиус этого круга равен радиусу сферы $r$.

Пусть $h$ — высота конуса, а $r_0$ — радиус его основания. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $h$, основанием $2r_0$ и боковыми сторонами, равными образующей конуса $l$. Длину образующей $l$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом основания и самой образующей:

$l = \sqrt{h^2 + r_0^2}$

Радиус $r$ вписанной в треугольник окружности (который равен радиусу вписанной сферы) можно найти, используя формулу для площади треугольника. Площадь треугольника ($S_{\triangle}$) можно вычислить двумя способами:

1. Через основание и высоту:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2r_0) \cdot h = h r_0$

2. Через радиус вписанной окружности $r$ и полупериметр $p$.
Полупериметр треугольника равен: $p = \frac{l + l + 2r_0}{2} = l + r_0$.
Тогда площадь: $S_{\triangle} = p \cdot r = (l + r_0)r$.

Приравняем два полученных выражения для площади треугольника:

$h r_0 = (l + r_0)r$

Из этого уравнения выразим радиус сферы $r$:

$r = \frac{h r_0}{l + r_0}$

Теперь подставим ранее найденное выражение для образующей $l$:

$r = \frac{h r_0}{\sqrt{h^2 + r_0^2} + r_0}$

Это и есть искомое выражение для радиуса вписанной сферы.

Ответ: $r = \frac{h r_0}{\sqrt{h^2 + r_0^2} + r_0}$