Номер 10.4, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.4. Около цилиндра, радиус основания которого равен 1 см, описана сфера радиусом 2 см. Найдите высоту цилиндра.

10.4. Для решения задачи рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Осевым сечением сферы является большой круг, радиус которого равен радиусу сферы $R$. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания цилиндра ($2r$), а другая — высоте цилиндра ($H$).

Поскольку сфера описана около цилиндра, это означает, что окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы. Следовательно, прямоугольник, являющийся осевым сечением цилиндра, вписан в большой круг, являющийся осевым сечением сферы.

Дано:

• Радиус основания цилиндра $r = 1$ см.
• Радиус описанной сферы $R = 2$ см.

Нужно найти высоту цилиндра $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный в осевом сечении. Его гипотенузой будет радиус сферы $R$, одним катетом — радиус основания цилиндра $r$, а вторым катетом — половина высоты цилиндра ($H/2$). Вершинами этого треугольника являются: центр сферы (который совпадает с центром симметрии цилиндра), центр одного из оснований цилиндра и любая точка на окружности этого основания.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$

Подставим известные значения в это уравнение:

$2^2 = 1^2 + (\frac{H}{2})^2$

$4 = 1 + (\frac{H}{2})^2$

Теперь выразим $(\frac{H}{2})^2$:

$(\frac{H}{2})^2 = 4 - 1$

$(\frac{H}{2})^2 = 3$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти половину высоты:

$\frac{H}{2} = \sqrt{3}$ см

Полная высота цилиндра $H$ в два раза больше:

$H = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.