Номер 9.19, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.19 Как расположены между собой сфера, заданная уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, и плоскость, заданная уравнением:

a) $x + y + z = \sqrt{2}$

б) $x + y + z = \sqrt{3}$

в) $x + y + z = 2$

Для определения взаимного расположения сферы и плоскости, сперва найдем параметры сферы. Уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ — это каноническое уравнение сферы с центром в начале координат, точке $O(0, 0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{1} = 1$.

Затем, для каждого случая, мы вычислим расстояние $d$ от центра сферы $O(0, 0, 0)$ до заданной плоскости. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, находится по формуле: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Так как центр сферы — точка $O(0, 0, 0)$, формула упрощается: $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Взаимное расположение определяется сравнением расстояния $d$ и радиуса $R$:

• если $d < R$, то плоскость пересекает сферу;

• если $d = R$, то плоскость касается сферы;

• если $d > R$, то плоскость и сфера не имеют общих точек.

а) Рассмотрим плоскость $x + y + z = \sqrt{2}$.

Приведем уравнение плоскости к общему виду: $x + y + z - \sqrt{2} = 0$. Отсюда коэффициенты: $A=1$, $B=1$, $C=1$, $D=-\sqrt{2}$.

Вычислим расстояние $d$ от центра сферы до плоскости:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - \sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Сравним $d$ с радиусом $R=1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} < 1$. Следовательно, $d < R$.

Это означает, что плоскость пересекает сферу. Линией пересечения является окружность.
Ответ: плоскость пересекает сферу.

б) Рассмотрим плоскость $x + y + z = \sqrt{3}$.

Общий вид уравнения: $x + y + z - \sqrt{3} = 0$. Коэффициенты: $A=1$, $B=1$, $C=1$, $D=-\sqrt{3}$.

Вычислим расстояние $d$ от центра сферы до плоскости:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - \sqrt{3}|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$.

Сравним $d$ с радиусом $R=1$. Получаем, что $d = 1 = R$.

Это означает, что плоскость касается сферы в одной точке.
Ответ: плоскость касается сферы.

в) Рассмотрим плоскость $x + y + z = 2$.

Общий вид уравнения: $x + y + z - 2 = 0$. Коэффициенты: $A=1$, $B=1$, $C=1$, $D=-2$.

Вычислим расстояние $d$ от центра сферы до плоскости:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Сравним $d$ с радиусом $R=1$. Так как $2 > \sqrt{3}$, то $d = \frac{2}{\sqrt{3}} > 1$. Следовательно, $d > R$.

Это означает, что плоскость и сфера не имеют общих точек.
Ответ: плоскость и сфера не имеют общих точек.