Номер 9.20, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.20. Повторите определения окружностей, вписанных и описанных около прямоугольника, треугольника, трапеции; формулы для нахождения их радиусов.

Определения

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Сам многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность. Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Сам многоугольник в этом случае называется описанным около окружности. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов многоугольника.

Прямоугольник

Описанная окружность:

Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей. Радиус $R$ равен половине длины диагонали $d$.

Если стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, то его диагональ по теореме Пифагора равна $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Формула для радиуса описанной окружности:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Ответ: $R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Вписанная окружность:

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом. Это следует из основного свойства описанного четырехугольника: суммы длин его противоположных сторон должны быть равны. Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ это условие выглядит как $a+a = b+b$, что равносильно $a=b$.

Если сторона квадрата равна $a$, то радиус вписанной окружности $r$ равен половине его стороны.

Формула для радиуса вписанной окружности:

$r = \frac{a}{2}$

Ответ: В прямоугольник можно вписать окружность, только если он является квадратом. Радиус $r = \frac{a}{2}$, где $a$ — сторона квадрата.

Треугольник

Описанная окружность:

Около любого треугольника можно описать окружность. Ее центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника, $A, B, C$ — противолежащие им углы, $S$ — площадь треугольника. Радиус описанной окружности $R$ можно найти по формулам:

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$ (следствие из теоремы синусов)

$R = \frac{abc}{4S}$

Ответ: $R = \frac{abc}{4S}$.

Вписанная окружность:

В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центр — точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Пусть $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр ($p = \frac{a+b+c}{2}$). Радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле:

$r = \frac{S}{p}$

Ответ: $r = \frac{S}{p}$.

Трапеция

Описанная окружность:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда трапеция является равнобокой (равнобедренной).

Пусть $a$ и $b$ — основания равнобокой трапеции, $c$ — боковая сторона, $d_{tr}$ — диагональ, $h$ — высота. Радиус описанной окружности $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и большим основанием. Радиус можно вычислить по формуле:

$R = \frac{c \cdot d_{tr}}{2h}$

где высота $h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{|a-b|}{2}\right)^2}$ и диагональ $d_{tr} = \sqrt{ab+c^2}$.

Ответ: Окружность можно описать только около равнобокой трапеции. Радиус вычисляется по формуле $R = \frac{c \cdot d_{tr}}{2h}$.

Вписанная окружность:

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон. Если $a, b$ — основания, а $c_1, c_2$ — боковые стороны, то должно выполняться условие $a+b = c_1+c_2$.

Радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты трапеции $h$.

$r = \frac{h}{2}$

Для равнобокой трапеции ($c_1=c_2=c$), в которую можно вписать окружность, выполняется $a+b=2c$, а высота может быть найдена по формуле $h = \sqrt{ab}$. В этом случае $r=\frac{\sqrt{ab}}{2}$.

Ответ: В трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Радиус $r = \frac{h}{2}$.