Номер 10.9, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.9. Выразите радиус $R$ сферы, описанной около конуса, через его высоту $h$ и радиус $r$ окружности основания.

10.9. Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и описанной около него сферы. В сечении мы получим равнобедренный треугольник, вписанный в окружность. Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$, а половина основания равна радиусу основания конуса $r$. Окружность в сечении является большой окружностью сферы, и её радиус равен радиусу сферы $R$.

Центр описанной окружности (и, соответственно, центр сферы) лежит на оси конуса, которая в сечении является высотой равнобедренного треугольника. Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$ и $C$, где $AC$ – высота $h$, а $B$ – точка на окружности основания. Таким образом, $AB$ – образующая конуса, а $CB$ – радиус основания $r$. Пусть $O$ – центр описанной сферы, лежащий на высоте $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OCB$. Его стороны:

• $OB$ – гипотенуза, которая является радиусом сферы, то есть $OB = R$.
• $CB$ – катет, который является радиусом основания конуса, то есть $CB = r$.
• $OC$ – катет, который является частью высоты конуса. Расстояние от центра сферы $O$ до вершины конуса $A$ также равно радиусу сферы $R$. Следовательно, длина отрезка $OC$ равна $|AC - AO| = |h - R|$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $OCB$:

$OB^2 = OC^2 + CB^2$

Подставим известные нам величины:

$R^2 = (h-R)^2 + r^2$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить $R$:

$R^2 = h^2 - 2hR + R^2 + r^2$

Сократим $R^2$ в обеих частях уравнения:

$0 = h^2 - 2hR + r^2$

Перенесем член с $R$ в левую часть:

$2hR = h^2 + r^2$

Наконец, выразим радиус сферы $R$:

$R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$

Ответ: $R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$