Номер 10.12, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.12. Радиус основания конуса равен 3 см, высота равна 4 см. Найдите радиус вписанной сферы.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, являющаяся сечением вписанной сферы. Радиус этой окружности равен искомому радиусу сферы $r$.

Исходные данные:
Радиус основания конуса $R = 3$ см.
Высота конуса $H = 4$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием $a$, равным диаметру основания конуса, и высотой $h$, равной высоте конуса $H$.
Основание треугольника: $a = 2R = 2 \cdot 3 = 6$ см.
Высота треугольника: $h = H = 4$ см.

Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $L$. Найдем длину образующей по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота $H$ и радиус $R$, а гипотенузой — образующая $L$:
$L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Таким образом, осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 5 см и 5 см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле, связывающей площадь треугольника $S$ и его полупериметр $p$: $S = p \cdot r$. Из этой формулы выразим радиус: $r = \frac{S}{p}$.

1. Сначала вычислим площадь треугольника $S$, используя его основание $a$ и высоту $h$:
$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².

2. Затем вычислим полупериметр $p$ треугольника (сумма длин всех сторон, деленная на два):
$p = \frac{a + L + L}{2} = \frac{6 + 5 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

3. Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$, который равен искомому радиусу вписанной сферы:
$r = \frac{S}{p} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Ответ: 1.5 см.