Номер 10.14, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.14 Радиус основания конуса равен 1 см. Образующая составляет с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите радиус:

а) описанной;

б) вписанной сферы.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса `d`, а боковыми сторонами — образующие конуса `l`. Высота этого треугольника является высотой конуса `H`.

По условию, радиус основания конуса `r = 1` см. Следовательно, диаметр основания `d = 2r = 2` см.

Образующая составляет с плоскостью основания угол $45^\circ$. Этот угол является углом при основании в осевом сечении. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и оба они составляют $45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса `H`, радиусом основания `r` и образующей `l`. В этом треугольнике:

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = r = 1$ см.

Найдем длину образующей `l` по теореме Пифагора:

$l = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Сумма углов в треугольнике осевого сечения равна $180^\circ$. Угол при вершине конуса в осевом сечении равен $180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$. Таким образом, осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник.

а) описанной

Сфера, описанная около конуса, проходит через его вершину и окружность основания. Центр описанной сферы лежит на оси конуса. Осевое сечение конуса и описанной сферы представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы.

Радиус описанной сферы `R` равен радиусу окружности, описанной около треугольника осевого сечения.

Как мы установили, осевое сечение — это прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной диаметру основания конуса `d = 2` см. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Следовательно, радиус описанной окружности (и, соответственно, описанной сферы) равен половине гипотенузы.

$R = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: $1$ см.

б) вписанной

Сфера, вписанная в конус, касается его основания и боковой поверхности. Центр вписанной сферы лежит на оси конуса. Осевое сечение конуса и вписанной сферы представляет собой равнобедренный треугольник и вписанную в него окружность.

Радиус вписанной сферы `r_{сф}` равен радиусу окружности, вписанной в треугольник осевого сечения.

Радиус вписанной окружности в треугольник можно найти по формуле $r_{вп} = \frac{S}{p}$, где `S` — площадь треугольника, а `p` — его полупериметр.

Площадь треугольника осевого сечения:

$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ см$^2$.

Периметр треугольника:

$P = l + l + d = \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2 = 2\sqrt{2} + 2$ см.

Полупериметр:

$p = \frac{P}{2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{2} = \sqrt{2} + 1$ см.

Теперь найдем радиус вписанной сферы:

$r_{сф} = \frac{S}{p} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$r_{сф} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$ см.

Ответ: $\sqrt{2} - 1$ см.