Номер 10.10, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

высоту и радиус / окружности основания.

10.10. Радиус основания конуса равен 3 см, высота равна 4 см. Найдите радиус описанной сферы.

Пусть радиус основания конуса равен $r$, а его высота равна $h$. Согласно условию задачи, $r = 3$ см и $h = 4$ см. Требуется найти радиус $R$ описанной около конуса сферы.

Для нахождения радиуса описанной сферы рассмотрим осевое сечение данной геометрической конструкции. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а осевым сечением сферы — большая окружность, описанная вокруг этого треугольника. Радиус этой окружности и будет являться искомым радиусом сферы $R$.

Обозначим вершины осевого сечения конуса как $A$, $B$ и $C$, где $A$ — вершина конуса, а $BC$ — диаметр его основания. Высота конуса $AH$ является осью симметрии конуса, а также высотой, медианой и биссектрисой треугольника $ABC$. Центр описанной сферы $O$ будет лежать на этой оси $AH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBH$, образованный радиусом сферы $OB$, радиусом основания конуса $BH$ и отрезком $OH$, который является частью высоты конуса.

Стороны этого треугольника равны:
- Гипотенуза $OB$ равна радиусу сферы $R$.
- Катет $BH$ равен радиусу основания конуса $r = 3$ см.
- Катет $OH$ — это расстояние от центра сферы $O$ до центра основания конуса $H$. Поскольку $OA$ также является радиусом сферы $R$, а вся высота $AH=h=4$ см, то длина отрезка $OH$ равна $AH - AO = h - R = 4 - R$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $OBH$, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $OB^2 = BH^2 + OH^2$.

Подставим известные значения в формулу:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$
$R^2 = 3^2 + (4 - R)^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $R$:
$R^2 = 9 + (16 - 8R + R^2)$
$R^2 = 9 + 16 - 8R + R^2$
$R^2 = 25 - 8R + R^2$

Сократим $R^2$ в обеих частях уравнения и перенесем слагаемое с $R$ влево:
$8R = 25$
$R = \frac{25}{8}$
$R = 3,125$ см.

Ответ: 3,125 см.