Страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.1. В цилиндр вписана сфера радиусом $R$. Найдите радиус основания и высоту цилиндра?

10.1. Если сфера радиусом $R$ вписана в цилиндр, то она касается обоих оснований цилиндра (верхнего и нижнего) и его боковой поверхности. Чтобы найти размеры цилиндра, рассмотрим его осевое сечение (сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра).

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Осевое сечение вписанной сферы — это большой круг, радиус которого равен радиусу сферы $R$. Этот круг вписан в прямоугольник.

Пусть радиус основания цилиндра равен $r$, а его высота — $h$. Тогда ширина осевого сечения-прямоугольника равна диаметру основания цилиндра, то есть $2r$, а высота прямоугольника равна высоте цилиндра $h$.

Большой круг сферы имеет радиус $R$ и, соответственно, диаметр $2R$. Поскольку этот круг вписан в прямоугольник, он касается всех его четырех сторон. Это возможно только в том случае, если прямоугольник является квадратом, сторона которого равна диаметру круга.

Следовательно, диаметр основания цилиндра равен стороне этого квадрата: $2r = 2R$, откуда радиус основания цилиндра $r = R$.

Высота цилиндра также равна стороне квадрата: $h = 2R$.

Ответ: радиус основания цилиндра равен $R$, высота цилиндра — $2R$.

10.2. В цилиндр, высота которого равна $h$, вписана сфера. Найдите ее радиус.

Пусть радиус вписанной сферы равен $R$, а высота цилиндра, как дано в условии, равна $h$.

Когда сфера вписана в цилиндр, это означает, что она касается обоих оснований цилиндра (верхнего и нижнего) и его боковой поверхности.

Рассмотрим осевое сечение этой системы, проходящее через ось цилиндра. Сечением цилиндра будет прямоугольник, а сечением вписанной сферы — большой круг (круг, радиус которого равен радиусу сферы). Этот круг будет вписан в прямоугольник.

Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$. Ширина прямоугольника равна диаметру основания цилиндра.

Поскольку круг вписан в прямоугольник, он касается его верхней и нижней сторон. Расстояние между этими сторонами равно высоте прямоугольника $h$. Это расстояние также равно диаметру вписанного круга, который, в свою очередь, является диаметром сферы $D$.

Следовательно, диаметр вписанной сферы равен высоте цилиндра:

$D = h$

Радиус сферы $R$ в два раза меньше ее диаметра $D$:

$R = \frac{D}{2}$

Подставив значение диаметра, выраженное через высоту цилиндра, получим:

$R = \frac{h}{2}$

Ответ: $R = \frac{h}{2}$

10.3. Около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1 см, описана сфера. Найдите ее радиус.

10.3. Рассмотрим осевое сечение цилиндра и описанной около него сферы. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, а осевое сечение сферы — это большой круг, в который вписан данный прямоугольник.

Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$. По условию задачи, радиус основания цилиндра $r = 1$ см, и его высота $h = 1$ см.

Диаметр основания цилиндра равен $d = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ см. Таким образом, стороны прямоугольника в сечении равны 1 см и 2 см.

Диагональ этого прямоугольника совпадает с диаметром описанной сферы. Обозначим радиус сферы как $R$. Тогда ее диаметр равен $2R$.

Найдем диагональ прямоугольника по теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника (катеты) и его диагональю (гипотенуза), выполняется следующее соотношение: $(2R)^2 = h^2 + d^2$

Подставим известные значения в формулу: $(2R)^2 = 1^2 + 2^2$ $4R^2 = 1 + 4$ $4R^2 = 5$

Теперь выразим $R^2$: $R^2 = \frac{5}{4}$

Найдем радиус сферы, извлекая квадратный корень: $R = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

10.4. Около цилиндра, радиус основания которого равен 1 см, описана сфера радиусом 2 см. Найдите высоту цилиндра.

10.4. Для решения задачи рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Осевым сечением сферы является большой круг, радиус которого равен радиусу сферы $R$. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания цилиндра ($2r$), а другая — высоте цилиндра ($H$).

Поскольку сфера описана около цилиндра, это означает, что окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы. Следовательно, прямоугольник, являющийся осевым сечением цилиндра, вписан в большой круг, являющийся осевым сечением сферы.

Дано:

• Радиус основания цилиндра $r = 1$ см.
• Радиус описанной сферы $R = 2$ см.

Нужно найти высоту цилиндра $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный в осевом сечении. Его гипотенузой будет радиус сферы $R$, одним катетом — радиус основания цилиндра $r$, а вторым катетом — половина высоты цилиндра ($H/2$). Вершинами этого треугольника являются: центр сферы (который совпадает с центром симметрии цилиндра), центр одного из оснований цилиндра и любая точка на окружности этого основания.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$

Подставим известные значения в это уравнение:

$2^2 = 1^2 + (\frac{H}{2})^2$

$4 = 1 + (\frac{H}{2})^2$

Теперь выразим $(\frac{H}{2})^2$:

$(\frac{H}{2})^2 = 4 - 1$

$(\frac{H}{2})^2 = 3$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти половину высоты:

$\frac{H}{2} = \sqrt{3}$ см

Полная высота цилиндра $H$ в два раза больше:

$H = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

10.5. Около цилиндра, высота которого равна 2 см, описана сфера радиусом 2 см. Найдите радиус основания цилиндра.

Пусть $R$ — радиус описанной сферы, $H$ — высота цилиндра, а $r$ — радиус основания цилиндра. По условию задачи, высота цилиндра $H = 2$ см, а радиус сферы $R = 2$ см. Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением сферы является большой круг радиусом $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник с высотой $H$ и шириной, равной диаметру основания цилиндра $2r$. Этот прямоугольник вписан в большой круг сферы. Диагональ этого прямоугольника является диаметром описанной сферы. Однако удобнее рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (один катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{H}{2}$ (второй катет). Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $R^2 = r^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$ Подставим известные значения в формулу. Высота цилиндра $H = 2$ см, следовательно, половина высоты $\frac{H}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см. Радиус сферы $R = 2$ см. Получаем уравнение: $2^2 = r^2 + 1^2$ $4 = r^2 + 1$ $r^2 = 4 - 1$ $r^2 = 3$ $r = \sqrt{3}$ см (так как радиус не может быть отрицательным). Таким образом, радиус основания цилиндра равен $\sqrt{3}$ см.
Ответ: $\sqrt{3}$ см.

10.6. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, стороны которого равны 3 см и 4 см. Найдите радиус описанной сферы.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра ($H$) и диаметру его основания ($D$). По условию задачи, стороны этого прямоугольника равны 3 см и 4 см. Таким образом, у нас есть два возможных случая:

1. Высота $H = 3$ см, а диаметр основания $D = 4$ см.

2. Высота $H = 4$ см, а диаметр основания $D = 3$ см.

Сфера, описанная около цилиндра, — это сфера, которая проходит через обе окружности оснований цилиндра. Центр такой сферы совпадает с центром симметрии цилиндра (серединой его оси). Диаметр описанной сферы равен диагонали осевого сечения цилиндра.

Найдем диагональ $d$ прямоугольника, являющегося осевым сечением. Воспользуемся теоремой Пифагора, где катетами являются стороны прямоугольника ($a$ и $b$), а гипотенузой — его диагональ ($d$):

$d^2 = a^2 + b^2$

Подставим известные значения сторон $a = 3$ см и $b = 4$ см:

$d^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$d = \sqrt{25} = 5$ см.

Диагональ осевого сечения не зависит от того, какая из сторон является высотой, а какая — диаметром цилиндра. Эта диагональ равна диаметру описанной сферы ($D_{сферы}$).

Итак, $D_{сферы} = d = 5$ см.

Радиус описанной сферы ($R_{сферы}$) равен половине ее диаметра:

$R_{сферы} = \frac{D_{сферы}}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$ см.

Ответ: 2,5 см.

которого равны 8 см и 1 см. Найдите радиус описанной сферы.

10.7. Найдите площадь поверхности цилиндра, описанного около сферы радиусом 1 см.

Для нахождения площади поверхности цилиндра, описанного около сферы, необходимо сначала определить параметры этого цилиндра (радиус основания и высоту) через радиус вписанной сферы.

Если цилиндр описан около сферы, это означает, что сфера касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности. Из этого условия следует:

1. Радиус основания цилиндра, обозначим его $R$, равен радиусу сферы $r$.

2. Высота цилиндра, обозначим ее $H$, равна диаметру сферы, то есть $2r$.

По условию задачи, радиус сферы $r = 1$ см.

Тогда размеры цилиндра будут следующими:

Радиус основания цилиндра: $R = r = 1$ см.

Высота цилиндра: $H = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$):

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi R H$

Площадь основания цилиндра (круга) находится по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2$

Подставляем выражения для площадей в общую формулу:

$S_{полн} = 2 \pi R H + 2(\pi R^2) = 2 \pi R (H + R)$

Теперь подставим найденные значения $R = 1$ см и $H = 2$ см в формулу для площади полной поверхности:

$S_{полн} = 2 \pi \cdot 1 \cdot (2 + 1) = 2 \pi \cdot 3 = 6 \pi$ см$^2$.

Ответ: $6\pi$ см$^2$.

10.8 Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной равной 1 см. Найдите радиус:

а) описанной;

б) вписанной сферы.

По условию, осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной $a = 1$ см. Образующая конуса $l$ равна стороне этого треугольника, а диаметр основания конуса $d$ равен основанию этого треугольника. Таким образом, $l = 1$ см и $d = 1$ см. Радиус основания конуса $r_{к} = d/2 = 0,5$ см. Высота конуса $H$ равна высоте равностороннего треугольника.

Найдем высоту $H$ равностороннего треугольника со стороной $a=1$ см по формуле $H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$: $H = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Центры описанной и вписанной сфер для конуса совпадают с центрами описанной и вписанной окружностей для его осевого сечения (равностороннего треугольника). Центр равностороннего треугольника (точка пересечения медиан, биссектрис и высот) делит его высоту в отношении 2:1, считая от вершины.

а) Радиус описанной сферы ($R$) равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения. Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности составляет $\frac{2}{3}$ его высоты. $R = \frac{2}{3}H = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

б) Радиус вписанной сферы ($r$) равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение. Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности составляет $\frac{1}{3}$ его высоты. $r = \frac{1}{3}H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

10.9. Выразите радиус $R$ сферы, описанной около конуса, через его высоту $h$ и радиус $r$ окружности основания.

10.9. Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и описанной около него сферы. В сечении мы получим равнобедренный треугольник, вписанный в окружность. Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$, а половина основания равна радиусу основания конуса $r$. Окружность в сечении является большой окружностью сферы, и её радиус равен радиусу сферы $R$.

Центр описанной окружности (и, соответственно, центр сферы) лежит на оси конуса, которая в сечении является высотой равнобедренного треугольника. Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$ и $C$, где $AC$ – высота $h$, а $B$ – точка на окружности основания. Таким образом, $AB$ – образующая конуса, а $CB$ – радиус основания $r$. Пусть $O$ – центр описанной сферы, лежащий на высоте $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OCB$. Его стороны:

• $OB$ – гипотенуза, которая является радиусом сферы, то есть $OB = R$.
• $CB$ – катет, который является радиусом основания конуса, то есть $CB = r$.
• $OC$ – катет, который является частью высоты конуса. Расстояние от центра сферы $O$ до вершины конуса $A$ также равно радиусу сферы $R$. Следовательно, длина отрезка $OC$ равна $|AC - AO| = |h - R|$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $OCB$:

$OB^2 = OC^2 + CB^2$

Подставим известные нам величины:

$R^2 = (h-R)^2 + r^2$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить $R$:

$R^2 = h^2 - 2hR + R^2 + r^2$

Сократим $R^2$ в обеих частях уравнения:

$0 = h^2 - 2hR + r^2$

Перенесем член с $R$ в левую часть:

$2hR = h^2 + r^2$

Наконец, выразим радиус сферы $R$:

$R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$

Ответ: $R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$

высоту и радиус / окружности основания.

10.10. Радиус основания конуса равен 3 см, высота равна 4 см. Найдите радиус описанной сферы.

Пусть радиус основания конуса равен $r$, а его высота равна $h$. Согласно условию задачи, $r = 3$ см и $h = 4$ см. Требуется найти радиус $R$ описанной около конуса сферы.

Для нахождения радиуса описанной сферы рассмотрим осевое сечение данной геометрической конструкции. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а осевым сечением сферы — большая окружность, описанная вокруг этого треугольника. Радиус этой окружности и будет являться искомым радиусом сферы $R$.

Обозначим вершины осевого сечения конуса как $A$, $B$ и $C$, где $A$ — вершина конуса, а $BC$ — диаметр его основания. Высота конуса $AH$ является осью симметрии конуса, а также высотой, медианой и биссектрисой треугольника $ABC$. Центр описанной сферы $O$ будет лежать на этой оси $AH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBH$, образованный радиусом сферы $OB$, радиусом основания конуса $BH$ и отрезком $OH$, который является частью высоты конуса.

Стороны этого треугольника равны:
- Гипотенуза $OB$ равна радиусу сферы $R$.
- Катет $BH$ равен радиусу основания конуса $r = 3$ см.
- Катет $OH$ — это расстояние от центра сферы $O$ до центра основания конуса $H$. Поскольку $OA$ также является радиусом сферы $R$, а вся высота $AH=h=4$ см, то длина отрезка $OH$ равна $AH - AO = h - R = 4 - R$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $OBH$, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $OB^2 = BH^2 + OH^2$.

Подставим известные значения в формулу:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$
$R^2 = 3^2 + (4 - R)^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $R$:
$R^2 = 9 + (16 - 8R + R^2)$
$R^2 = 9 + 16 - 8R + R^2$
$R^2 = 25 - 8R + R^2$

Сократим $R^2$ в обеих частях уравнения и перенесем слагаемое с $R$ влево:
$8R = 25$
$R = \frac{25}{8}$
$R = 3,125$ см.

Ответ: 3,125 см.

10.11. Выразите радиус $r$ сферы, вписанной в конус, через его высоту $h$ и радиус $r_0$ окружности основания.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанной в него сферы. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением сферы — большой круг, который вписан в этот треугольник. Радиус этого круга равен радиусу сферы $r$.

Пусть $h$ — высота конуса, а $r_0$ — радиус его основания. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $h$, основанием $2r_0$ и боковыми сторонами, равными образующей конуса $l$. Длину образующей $l$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом основания и самой образующей:

$l = \sqrt{h^2 + r_0^2}$

Радиус $r$ вписанной в треугольник окружности (который равен радиусу вписанной сферы) можно найти, используя формулу для площади треугольника. Площадь треугольника ($S_{\triangle}$) можно вычислить двумя способами:

1. Через основание и высоту:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2r_0) \cdot h = h r_0$

2. Через радиус вписанной окружности $r$ и полупериметр $p$.
Полупериметр треугольника равен: $p = \frac{l + l + 2r_0}{2} = l + r_0$.
Тогда площадь: $S_{\triangle} = p \cdot r = (l + r_0)r$.

Приравняем два полученных выражения для площади треугольника:

$h r_0 = (l + r_0)r$

Из этого уравнения выразим радиус сферы $r$:

$r = \frac{h r_0}{l + r_0}$

Теперь подставим ранее найденное выражение для образующей $l$:

$r = \frac{h r_0}{\sqrt{h^2 + r_0^2} + r_0}$

Это и есть искомое выражение для радиуса вписанной сферы.

Ответ: $r = \frac{h r_0}{\sqrt{h^2 + r_0^2} + r_0}$

10.12. Радиус основания конуса равен 3 см, высота равна 4 см. Найдите радиус вписанной сферы.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, являющаяся сечением вписанной сферы. Радиус этой окружности равен искомому радиусу сферы $r$.

Исходные данные:
Радиус основания конуса $R = 3$ см.
Высота конуса $H = 4$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием $a$, равным диаметру основания конуса, и высотой $h$, равной высоте конуса $H$.
Основание треугольника: $a = 2R = 2 \cdot 3 = 6$ см.
Высота треугольника: $h = H = 4$ см.

Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $L$. Найдем длину образующей по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота $H$ и радиус $R$, а гипотенузой — образующая $L$:
$L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Таким образом, осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 5 см и 5 см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле, связывающей площадь треугольника $S$ и его полупериметр $p$: $S = p \cdot r$. Из этой формулы выразим радиус: $r = \frac{S}{p}$.

1. Сначала вычислим площадь треугольника $S$, используя его основание $a$ и высоту $h$:
$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².

2. Затем вычислим полупериметр $p$ треугольника (сумма длин всех сторон, деленная на два):
$p = \frac{a + L + L}{2} = \frac{6 + 5 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

3. Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$, который равен искомому радиусу вписанной сферы:
$r = \frac{S}{p} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Ответ: 1.5 см.

10.13. Образующая конуса и радиус описанной сферы равны 2 см.

Найдите радиус основания конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса, вписанного в сферу. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в окружность большого круга сферы. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $L$, а основание — диаметру основания конуса $2r$. Высота треугольника является высотой конуса $H$.

По условию задачи нам даны:

Образующая конуса $L = 2$ см.
Радиус описанной сферы $R = 2$ см.

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей радиус $R$ окружности, описанной около равнобедренного треугольника, с его боковой стороной $L$ и высотой $H$, проведенной к основанию:

$R = \frac{L^2}{2H}$

Подставим в эту формулу известные значения $R = 2$ и $L = 2$, чтобы найти высоту конуса $H$:

$2 = \frac{2^2}{2H}$
$2 = \frac{4}{2H}$
$2 = \frac{2}{H}$

Из этого уравнения находим, что высота конуса $H = 1$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и образующей $L$. Согласно теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + r^2$

Подставим известные значения $L = 2$ см и $H = 1$ см в это уравнение, чтобы найти радиус основания $r$:

$2^2 = 1^2 + r^2$
$4 = 1 + r^2$
$r^2 = 4 - 1$
$r^2 = 3$
$r = \sqrt{3}$ см (так как радиус не может быть отрицательным).

Ответ: $\sqrt{3}$ см.

10.14 Радиус основания конуса равен 1 см. Образующая составляет с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите радиус:

а) описанной;

б) вписанной сферы.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса `d`, а боковыми сторонами — образующие конуса `l`. Высота этого треугольника является высотой конуса `H`.

По условию, радиус основания конуса `r = 1` см. Следовательно, диаметр основания `d = 2r = 2` см.

Образующая составляет с плоскостью основания угол $45^\circ$. Этот угол является углом при основании в осевом сечении. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и оба они составляют $45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса `H`, радиусом основания `r` и образующей `l`. В этом треугольнике:

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = r = 1$ см.

Найдем длину образующей `l` по теореме Пифагора:

$l = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Сумма углов в треугольнике осевого сечения равна $180^\circ$. Угол при вершине конуса в осевом сечении равен $180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$. Таким образом, осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник.

а) описанной

Сфера, описанная около конуса, проходит через его вершину и окружность основания. Центр описанной сферы лежит на оси конуса. Осевое сечение конуса и описанной сферы представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность сферы.

Радиус описанной сферы `R` равен радиусу окружности, описанной около треугольника осевого сечения.

Как мы установили, осевое сечение — это прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной диаметру основания конуса `d = 2` см. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Следовательно, радиус описанной окружности (и, соответственно, описанной сферы) равен половине гипотенузы.

$R = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: $1$ см.

б) вписанной

Сфера, вписанная в конус, касается его основания и боковой поверхности. Центр вписанной сферы лежит на оси конуса. Осевое сечение конуса и вписанной сферы представляет собой равнобедренный треугольник и вписанную в него окружность.

Радиус вписанной сферы `r_{сф}` равен радиусу окружности, вписанной в треугольник осевого сечения.

Радиус вписанной окружности в треугольник можно найти по формуле $r_{вп} = \frac{S}{p}$, где `S` — площадь треугольника, а `p` — его полупериметр.

Площадь треугольника осевого сечения:

$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ см$^2$.

Периметр треугольника:

$P = l + l + d = \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2 = 2\sqrt{2} + 2$ см.

Полупериметр:

$p = \frac{P}{2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{2} = \sqrt{2} + 1$ см.

Теперь найдем радиус вписанной сферы:

$r_{сф} = \frac{S}{p} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$r_{сф} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$ см.

Ответ: $\sqrt{2} - 1$ см.