Задания, страница 75 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что площади поверхностей двух подобных многогранников относятся как $k^2$.

Проверьте, что площади поверхностей двух подобных шаров относятся как $k^2$.

Проверьте, что объемы двух подобных прямоугольных параллелепипедов относятся как $k^3$.

Докажите, что площади поверхностей двух подобных многогранников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Пусть даны два подобных многогранника $M_1$ и $M_2$ с коэффициентом подобия $k$. Это означает, что все соответствующие линейные размеры многогранника $M_2$ в $k$ раз больше соответствующих размеров многогранника $M_1$. Поверхность каждого многогранника состоит из граней, которые являются многоугольниками. Так как многогранники подобны, их соответствующие грани ($F_{1i}$ и $F_{2i}$) также являются подобными многоугольниками с тем же коэффициентом подобия $k$.

Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, для каждой пары соответствующих граней с площадями $S_{1i}$ и $S_{2i}$ выполняется соотношение: $\frac{S_{2i}}{S_{1i}} = k^2$, или $S_{2i} = k^2 \cdot S_{1i}$.

Площадь полной поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней. Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади поверхностей многогранников $M_1$ и $M_2$ соответственно. Тогда $S_1 = \sum S_{1i}$ и $S_2 = \sum S_{2i}$. Подставим соотношение для площадей граней в формулу для $S_2$:

$S_2 = \sum S_{2i} = \sum (k^2 \cdot S_{1i}) = k^2 \cdot (\sum S_{1i}) = k^2 \cdot S_1$.

Таким образом, отношение площадей поверхностей $\frac{S_2}{S_1} = k^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отношение площадей поверхностей подобных многогранников равно квадрату коэффициента подобия.

Проверьте, что площади поверхностей двух подобных шаров относятся как квадрат коэффициента подобия.

Любые два шара подобны. Коэффициентом подобия двух шаров является отношение их радиусов. Пусть даны два шара с радиусами $R_1$ и $R_2$. Коэффициент подобия $k = \frac{R_2}{R_1}$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Площадь поверхности первого шара равна $S_1 = 4\pi R_1^2$. Площадь поверхности второго шара равна $S_2 = 4\pi R_2^2$.

Найдем отношение площадей их поверхностей:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2} = \frac{R_2^2}{R_1^2} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2$.

Так как $k = \frac{R_2}{R_1}$, мы получаем, что $\frac{S_2}{S_1} = k^2$.

Ответ: Проверка подтверждает, что площади поверхностей двух подобных шаров относятся как квадрат коэффициента подобия.

Проверьте, что объемы двух подобных прямоугольных параллелепипедов относятся как куб коэффициента подобия.

Пусть даны два подобных прямоугольных параллелепипеда $P_1$ и $P_2$. Пусть измерения (длина, ширина, высота) параллелепипеда $P_1$ равны $a_1, b_1, c_1$. Поскольку параллелепипеды подобны с коэффициентом подобия $k$, их соответствующие измерения равны $a_2 = k \cdot a_1$, $b_2 = k \cdot b_1$, $c_2 = k \cdot c_1$.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Объем первого параллелепипеда: $V_1 = a_1 b_1 c_1$. Объем второго параллелепипеда: $V_2 = a_2 b_2 c_2 = (k a_1)(k b_1)(k c_1) = k^3 a_1 b_1 c_1$.

Найдем отношение их объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{k^3 a_1 b_1 c_1}{a_1 b_1 c_1} = k^3$.

Ответ: Проверка подтверждает, что объемы двух подобных прямоугольных параллелепипедов относятся как куб коэффициента подобия.