Вопросы, страница 75 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какой величине аналогичен объем?

2. Что принимается за единицу измерения объема?

3. Перечислите свойства объема.

4. Какие фигуры в пространстве называются равновеликими?

5. Какое преобразование пространства называется подобием?

6. Какие фигуры в пространстве называются подобными?

7. Как связаны между собой объемы подобных фигур?

8. Приведите примеры подобных пространственных фигур.

1. Какой величине аналогичен объем?
Объем — это численная характеристика пространства, занимаемого телом. В геометрии объем трехмерного тела является прямым аналогом площади для двумерной фигуры. Подобно тому, как площадь измеряет, какую часть плоскости занимает фигура, объем измеряет, какую часть пространства занимает тело.
Ответ: Объем аналогичен площади на плоскости.

2. Что принимается за единицу измерения объема?
За единицу измерения объема принимается объем куба, длина ребра которого равна одной единице длины (например, 1 метр, 1 сантиметр и т.д.). Такой куб называется единичным кубом. Соответственно, единицами измерения объема являются кубический метр ($м^3$), кубический сантиметр ($см^3$) и другие.
Ответ: За единицу измерения объема принимается объем единичного куба.

3. Перечислите свойства объема.
Объем как величина обладает следующими основными свойствами:
1. Неотрицательность: объем любого геометрического тела является неотрицательным числом ($V \ge 0$).
2. Инвариантность: равные (конгруэнтные) тела имеют равные объемы. То есть, если тело перемещать или поворачивать в пространстве, его объем не изменится.
3. Аддитивность: если тело можно разбить на несколько тел, которые не имеют общих внутренних точек, то объем всего тела равен сумме объемов его частей. Например, если тело $T$ состоит из тел $T_1$ и $T_2$, то $V(T) = V(T_1) + V(T_2)$.
4. Нормированность: объем единичного куба (куба с ребром, равным единице длины) равен единице.
Ответ: Основные свойства объема: неотрицательность, инвариантность относительно движений, аддитивность.

4. Какие фигуры в пространстве называются равновеликими?
Две или более фигуры (тела) в пространстве называются равновеликими, если они имеют одинаковый объем. При этом форма этих фигур может быть совершенно различной. Например, шар и куб могут быть равновеликими, если их объемы равны.
Ответ: Равновеликими называются фигуры, имеющие равные объемы.

5. Какое преобразование пространства называется подобием?
Подобием (или преобразованием подобия) с коэффициентом $k > 0$ называется такое преобразование пространства, которое изменяет расстояние между любыми двумя точками в $k$ раз. Если $A$ и $B$ — две произвольные точки пространства, а $A'$ и $B'$ — их образы при преобразовании подобия, то расстояние между ними связано соотношением $|A'B'| = k \cdot |AB|$. Такое преобразование сохраняет углы и пропорции, то есть форму фигур, но изменяет их линейные размеры.
Ответ: Преобразование пространства, при котором расстояния между любыми точками изменяются в одно и то же число раз.

6. Какие фигуры в пространстве называются подобными?
Две фигуры называются подобными, если одна из них может быть получена из другой путем преобразования подобия. Это означает, что фигуры имеют одинаковую форму, но могут отличаться размерами. Все их соответствующие линейные размеры (длины ребер, высоты, радиусы и т.д.) пропорциональны с одним и тем же коэффициентом, который называется коэффициентом подобия.
Ответ: Фигуры, которые переводятся одна в другую преобразованием подобия.

7. Как связаны между собой объемы подобных фигур?
Отношение объемов двух подобных фигур равно кубу коэффициента подобия. Если две фигуры $F_1$ и $F_2$ подобны с коэффициентом подобия $k$, то отношение их объемов $V_1$ и $V_2$ равно $k^3$. Это можно записать в виде формулы: $\frac{V_1}{V_2} = k^3$.
Ответ: Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия.

8. Приведите примеры подобных пространственных фигур.
Примерами фигур, которые всегда подобны друг другу в рамках своего класса, являются:
- Любые два куба.
- Любые два шара.
- Любые два правильных тетраэдра (или любые два правильных многогранника одного и того же вида, например, два икосаэдра).
Примерами фигур, которые могут быть подобны при определенных условиях, являются:
- Два цилиндра, если у них одинаково отношение высоты к радиусу основания.
- Две пирамиды, если у них подобные основания и одинаково отношение высоты к соответствующему линейному размеру основания.
Ответ: Любые два шара; любые два куба.