Номер 5, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Образующая конуса равна 6 см и наклонена к плоскости основания под углом $45^{\circ}$. Найдите радиус основания этого конуса:

А) 3 см; B) $3\sqrt{2}$ см; C) $3\sqrt{3}$ см; D) 6 см.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Высота конуса ($h$), проведенная из его вершины к центру основания, делит этот треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенузой является образующая конуса ($l$), а катетами — радиус основания ($r$) и высота конуса ($h$).

Согласно условию, длина образующей $l = 6$ см. Угол наклона образующей к плоскости основания составляет $45^\circ$. В нашем прямоугольном треугольнике этот угол ($\alpha$) находится между гипотенузой $l$ и катетом $r$. Итак, $\alpha = 45^\circ$.

Способ 1: Через тригонометрические функции

Радиус основания $r$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$. Связь между прилежащим катетом, гипотенузой и углом в прямоугольном треугольнике определяется через косинус:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{l}$

Выразим из этой формулы радиус $r$:

$r = l \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения: $l = 6$ см и $\alpha = 45^\circ$.

$r = 6 \cdot \cos(45^\circ)$

Так как значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$r = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Способ 2: Через свойства равнобедренного прямоугольного треугольника

Так как рассматриваемый треугольник прямоугольный и один из его острых углов равен $45^\circ$, то второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник является равнобедренным, и его катеты равны друг другу: $r = h$.

Применим теорему Пифагора $r^2 + h^2 = l^2$.

Заменив $h$ на $r$, получим:

$r^2 + r^2 = l^2$

$2r^2 = 6^2$

$2r^2 = 36$

$r^2 = \frac{36}{2} = 18$

$r = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Оба способа решения приводят к одинаковому результату. Полученный радиус $3\sqrt{2}$ см соответствует варианту ответа B).

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.