Страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.5. Какая фигура получается при вращении отрезка $BC$ вокруг прямой, лежащей в одной плоскости с этим отрезком, не имеющей общих точек, не параллельной и не перпендикулярной этому отрезку (рис. 8.6)?

$a$

$C$

$B$

Рис. 8.6

При вращении отрезка $BC$ вокруг прямой $a$, каждая точка отрезка описывает окружность. Плоскость каждой такой окружности перпендикулярна оси вращения $a$, а её центр лежит на этой оси.

Концевые точки отрезка, $B$ и $C$, описывают две окружности. Эти окружности являются основаниями получаемой фигуры вращения. Поскольку по условию отрезок $BC$ не параллелен оси вращения $a$, точки $B$ и $C$ находятся на разном расстоянии от оси. Следовательно, радиусы этих окружностей-оснований различны ($r_B \ne r_C$). Эти окружности лежат в параллельных плоскостях.

Сам отрезок $BC$ в процессе вращения образует боковую поверхность фигуры. Так как прямая, содержащая отрезок $BC$ (который является образующей), не параллельна оси вращения $a$, она пересекает ось вращения в некоторой точке, которая является вершиной полного конуса. Фигура, образованная вращением отрезка $BC$, является частью этого конуса, ограниченной двумя параллельными плоскостями, проходящими через точки $B$ и $C$.

Такая поверхность называется боковой поверхностью усеченного конуса.

Ответ: боковая поверхность усеченного конуса.

8.6. Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 см и 2 см, высота равна 3 см. Найдите образующую усеченного конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое представляет собой равнобедренную трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, высота трапеции равна высоте конуса, а боковые стороны равны образующей конуса.

Обозначим радиус большего основания как $R$, радиус меньшего основания как $r$, высоту как $h$ и образующую как $l$.

По условию задачи нам даны:

$R = 6$ см

$r = 2$ см

$h = 3$ см

Чтобы найти образующую $l$, можно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, образующей $l$ и разностью радиусов $R-r$. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это образующая $l$;

• один катет — это высота конуса $h$;

• второй катет — это разность радиусов оснований $R-r$.

Воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Найдем разность радиусов:

$R - r = 6 - 2 = 4$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$l^2 = 3^2 + 4^2$

$l^2 = 9 + 16$

$l^2 = 25$

Теперь найдем длину образующей, извлекая квадратный корень из 25:

$l = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

8.7. Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 см и 2 см, образующая равна 5 см. Найдите площадь поверхности этого усеченного конуса.

Площадь полной поверхности усеченного конуса ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей его двух оснований (большого и малого) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

Формула для нахождения площади полной поверхности усеченного конуса:

$S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$

где $S_{осн1}$ — площадь большего основания, $S_{осн2}$ — площадь меньшего основания, $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

По условию задачи даны:

Радиус большего основания $R = 6$ см.

Радиус меньшего основания $r = 2$ см.

Образующая $l = 5$ см.

1. Вычислим площадь большего основания ($S_{осн1}$)

Основание представляет собой круг, площадь которого находится по формуле $S = \pi R^2$.

$S_{осн1} = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$ см².

2. Вычислим площадь меньшего основания ($S_{осн2}$)

Аналогично, площадь меньшего основания: $S = \pi r^2$.

$S_{осн2} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см².

3. Вычислим площадь боковой поверхности ($S_{бок}$)

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (R + r) l$.

$S_{бок} = \pi (6 + 2) \cdot 5 = \pi \cdot 8 \cdot 5 = 40\pi$ см².

4. Вычислим общую площадь поверхности усеченного конуса

Сложим площади оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок} = 36\pi + 4\pi + 40\pi = 80\pi$ см².

Ответ: $80\pi$ см².

8.8. Является ли разверткой боковой поверхности усеченного конуса часть круга, изображенная на рисунке 8.7?

Рис. 8.7

Нет, фигура, изображенная на рисунке, не является разверткой боковой поверхности усеченного конуса.

Боковая поверхность усеченного конуса при развертывании на плоскость образует сектор кругового кольца. Такая фигура ограничена двумя дугами концентрических окружностей и двумя прямолинейными отрезками, которые лежат на радиусах, проведенных к концам дуг из общего центра. При сворачивании фигуры в усеченный конус эти два радиальных отрезка совмещаются, образуя единый шов — образующую конической поверхности.

В фигуре, представленной на рисунке 8.7, края, которые должны быть соединены, не являются радиальными отрезками. Вырез в круговом кольце имеет прямые углы. Если попытаться свернуть такую фигуру, то из-за наличия отрезков, перпендикулярных радиусам, невозможно будет сформировать гладкую коническую поверхность. Вместо единой образующей на месте шва получится излом. Следовательно, данная фигура не может быть разверткой боковой поверхности усеченного конуса.

Ответ:Нет.

8.9. На листе бумаги в клетку изобразите конус, аналогичный данному на рисунке 8.4. Изобразите его сечение плоскостью, параллельной оси и пересекающей основания этого усеченного конуса.

Рис. 8.4

1. Построение усеченного конуса

Для построения усеченного конуса, аналогичного представленному на рисунке, на листе в клетку выполним следующие шаги:
1. Зададим размеры конуса в единицах сетки (клетках). Из рисунка видно, что радиус нижнего основания $R=4$ клетки, радиус верхнего основания $r=2$ клетки, а высота $h=4$ клетки. Ось конуса перпендикулярна основаниям и проходит через их центры.
2. Изобразим нижнее основание. Для этого начертим эллипс с горизонтальным радиусом 4 клетки, центр которого расположен на пересечении линий сетки. Для придания объемности заднюю (невидимую) часть эллипса изобразим пунктирной линией, а переднюю (видимую) — сплошной.
3. Изобразим верхнее основание. Его центр находится на 4 клетки выше центра нижнего основания. Начертим эллипс с горизонтальным радиусом 2 клетки. Это основание видно полностью, поэтому его контур рисуем сплошной линией.
4. Соединим боковыми линиями (образующими) соответствующие крайние точки эллипсов оснований.

2. Построение сечения плоскостью, параллельной оси конуса

По условию, секущая плоскость параллельна оси усеченного конуса и пересекает оба его основания.
1. При пересечении боковой поверхности конуса такая плоскость образует два отрезка, которые являются частями образующих конуса.
2. При пересечении верхнего и нижнего оснований (которые являются кругами) плоскость образует две параллельные друг другу хорды.
3. Фигура, полученная в сечении, является равнобокой трапецией. Основаниями этой трапеции служат хорды, высекаемые плоскостью на основаниях конуса, а боковыми сторонами — отрезки образующих.
Для наглядного изображения на построенном конусе:
- На видимой части эллипса нижнего основания наметим две точки и соединим их отрезком — это будет нижнее, большее основание трапеции сечения.
- От концов этого отрезка проведем вверх по боковой поверхности прямые линии (вдоль образующих) до пересечения с верхним основанием.
- Соединим точки пересечения на верхнем основании — это будет верхнее, меньшее основание трапеции.
- Полученную трапецию заштрихуем для наглядности.

Ответ: На рисунке выше представлен усеченный конус, построенный в соответствии с пропорциями на исходном изображении, и его сечение. Сечением усеченного конуса плоскостью, параллельной его оси и пересекающей оба основания, является равнобокая трапеция (на рисунке выделена штриховкой).

8.10. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 4 см. Через середину высоты этого усеченного конуса проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения.

Пусть радиусы оснований усеченного конуса равны $r_1$ и $r_2$, где $r_1 = 2$ см (радиус меньшего основания) и $r_2 = 4$ см (радиус большего основания). Высоту усеченного конуса обозначим через $H$.

По условию задачи, через середину высоты проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Такое сечение всегда является кругом. Чтобы найти площадь этого круга, нам необходимо определить его радиус, который мы обозначим как $r_с$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, у которой основания равны диаметрам оснований конуса ($2r_1$ и $2r_2$), а высота равна высоте конуса $H$. Радиус искомого сечения $r_с$ в этой трапеции будет соответствовать отрезку, параллельному основаниям трапеции и делящему её высоту пополам. Такой отрезок является средней линией трапеции, образованной радиусами $r_1$, $r_2$, высотой $H$ и образующей конуса.

Длина средней линии трапеции вычисляется как полусумма длин её параллельных оснований. В нашем случае основаниями соответствующей прямоугольной трапеции (половины осевого сечения) являются радиусы $r_1$ и $r_2$. Таким образом, радиус сечения $r_с$ можно найти по формуле:

$r_с = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Подставим заданные значения радиусов в формулу:

$r_с = \frac{2 \text{ см} + 4 \text{ см}}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

Теперь, зная радиус сечения, мы можем вычислить его площадь $S_с$. Площадь круга находится по формуле $S = \pi r^2$.

$S_с = \pi \cdot (r_с)^2 = \pi \cdot (3 \text{ см})^2 = 9\pi \text{ см}^2$

Ответ: $9\pi \text{ см}^2$.

8.11. Имеет ли усеченный конус: а) центр симметрии; б) оси симметрии;
в) плоскости симметрии?

8.12. Образующая усеченного конуса равна 2 см и как попала в плоскости

а) Центром симметрии фигуры является точка, относительно которой симметрична любая точка фигуры. Если у усеченного конуса существует центр симметрии, он должен лежать на оси, соединяющей центры оснований. Пусть радиусы оснований равны $R$ и $r$ (причем $R \neq r$). Возьмем точку $M$ на окружности большего основания. Расстояние от этой точки до оси равно $R$. Точка $M'$, симметричная точке $M$ относительно любой точки на оси, также будет находиться на расстоянии $R$ от оси. Однако на уровне, где должна находиться симметричная точка (в плоскости другого основания), все точки конуса находятся на расстоянии $r$ от оси. Так как $R \neq r$, точка $M'$ не принадлежит усеченному конусу. Следовательно, усеченный конус не имеет центра симметрии.
Ответ: нет.

б) Осью симметрии является прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (отличный от кратного $360^\circ$) фигура совмещается сама с собой. У прямого кругового усеченного конуса такая ось одна — это прямая, проходящая через центры его оснований. Так как усеченный конус является телом вращения вокруг этой прямой, любой поворот на произвольный угол отображает конус на себя. Других осей симметрии нет, так как при повороте вокруг любой другой оси нарушится симметрия фигуры из-за разных радиусов оснований.
Ответ: да, одна (ось вращения конуса).

в) Плоскостью симметрии является плоскость, при зеркальном отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Для усеченного конуса любая плоскость, проходящая через его ось, является плоскостью симметрии. Это связано с тем, что конус — тело вращения, и отражение относительно такой плоскости сохраняет расстояние каждой точки до оси вращения. Так как через ось можно провести бесконечное множество плоскостей, у усеченного конуса бесконечно много плоскостей симметрии. Других плоскостей симметрии, например, перпендикулярных оси, нет, так как отражение в такой плоскости не сохранит фигуру из-за разных радиусов оснований.
Ответ: да, бесконечно много (любая плоскость, проходящая через ось конуса).

8.12. Образующая усеченного конуса равна $2 \text{ см}$ и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите высоту этого усеченного конуса.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Такое сечение представляет собой равнобедренную трапецию. Боковые стороны этой трапеции равны образующей конуса ($L$), а высота трапеции является высотой усеченного конуса ($H$).

По условию задачи, длина образующей $L = 2$ см, а угол ее наклона к плоскости основания равен $\alpha = 30°$. В осевом сечении этот угол является углом между боковой стороной (образующей) и большим основанием трапеции.

Чтобы найти высоту конуса, опустим из вершины меньшего основания трапеции перпендикуляр (высоту) на большее основание. В результате мы получим прямоугольный треугольник, в котором:

- гипотенуза — это образующая конуса $L$;

- один из катетов — это высота конуса $H$;

- угол, противолежащий катету $H$, — это заданный угол наклона $\alpha$.

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла. Таким образом, мы можем записать следующую формулу:

$H = L \cdot \sin(\alpha)$

Подставим в эту формулу известные значения:

$L = 2$ см

$\alpha = 30°$

Выполним вычисления, зная, что $\sin(30°) = \frac{1}{2}$:

$H = 2 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

8.13. Образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1 см. Найдите радиус большего основания этого усеченного конуса.

Обозначим образующую усеченного конуса как $l$, радиус меньшего основания как $r$, радиус большего основания как $R$ и угол наклона образующей к плоскости основания как $\alpha$.
Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
образующая $l = 2$ см;
радиус меньшего основания $r = 1$ см;
угол наклона образующей $\alpha = 60^{\circ}$.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию. Боковые стороны трапеции равны образующей конуса $l$, а основания трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$).
Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции на большее основание. В результате этой операции образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:
- гипотенуза равна образующей конуса $l$;
- один из катетов равен высоте усеченного конуса $h$;
- второй катет равен разности радиусов большего и меньшего оснований, то есть $R - r$.
Угол между образующей (гипотенузой) и плоскостью большего основания (прилежащим катетом $R-r$) равен $\alpha = 60^{\circ}$.

Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике, мы можем записать соотношение:
$\cos(\alpha) = \frac{R - r}{l}$
Из этого уравнения можно выразить искомый радиус $R$:
$R - r = l \cdot \cos(\alpha)$
$R = r + l \cdot \cos(\alpha)$
Теперь подставим известные значения в полученную формулу:
$R = 1 + 2 \cdot \cos(60^{\circ})$
Мы знаем, что значение косинуса $60$ градусов равно $\frac{1}{2}$:
$R = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2}$
$R = 1 + 1$
$R = 2$ см

Ответ: радиус большего основания этого усеченного конуса равен 2 см.

8.14. Основания равнобедренной трапеции равны 1 см и 2 см, боковые стороны равны 2 см. Найдите площадь поверхности вращения этой трапеции, вокруг прямой, проходящей через середины оснований.

При вращении равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины ее оснований, образуется тело вращения — усеченный конус. Ось вращения совпадает с осью симметрии трапеции и осью усеченного конуса. Площадь поверхности вращения этой трапеции представляет собой полную площадь поверхности полученного усеченного конуса. Она состоит из площадей двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности.

По условию задачи нам даны:
Длина большего основания трапеции $a = 2$ см.
Длина меньшего основания трапеции $b = 1$ см.
Длина боковой стороны трапеции $l = 2$ см. Эта величина является образующей усеченного конуса.

Радиусы оснований усеченного конуса равны половинам длин соответствующих оснований трапеции:
Радиус большего основания: $R = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.
Радиус меньшего основания: $r = \frac{b}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Полная площадь поверхности усеченного конуса ($S_{полн}$) вычисляется по формуле:
$S_{полн} = S_{бок} + S_{R} + S_{r}$
где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, $S_{R}$ — площадь большего основания, а $S_{r}$ — площадь меньшего основания.

Найдем каждую из этих площадей:
1. Площадь большего основания (круга с радиусом $R$):
$S_{R} = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

2. Площадь меньшего основания (круга с радиусом $r$):
$S_{r} = \pi r^2 = \pi \cdot (0.5)^2 = 0.25\pi$ см$^2$.

3. Площадь боковой поверхности усеченного конуса:
$S_{бок} = \pi(R+r)l$
Подставляем известные значения:
$S_{бок} = \pi(1 + 0.5) \cdot 2 = \pi \cdot 1.5 \cdot 2 = 3\pi$ см$^2$.

4. Общая площадь поверхности вращения:
Теперь сложим все полученные площади, чтобы найти полную площадь поверхности:
$S_{полн} = S_{R} + S_{r} + S_{бок} = \pi + 0.25\pi + 3\pi = 4.25\pi$ см$^2$.
Результат можно представить в виде обыкновенной дроби: $4.25\pi = \frac{17}{4}\pi$ см$^2$.

Ответ: $\frac{17}{4}\pi$ см$^2$.