Страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какая фигура называется конусом?

2. Что называется осью конуса?

3. Что называется основанием конуса?

4. Какая фигура называется боковой поверхностью конуса?

5. Какие отрезки называются образующими конуса?

6. Что называется осевым сечением конуса?

7. Что называется вершиной конуса?

8. Что называется высотой конуса?

9. Какая фигура называется разверткой конуса?

10. Что называется площадью поверхности конуса?

11. Что называется площадью боковой поверхности конуса?

12. Выведите формулу площади боковой поверхности конуса. $S_{бок} = \pi r l$

13. Выведите формулу площади полной поверхности конуса. $S_{полн} = \pi r (l + r)$

1. Какая фигура называется конусом?
Конусом (в частности, прямым круговым конусом) называется геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Ответ:

2. Что называется осью конуса?
Осью конуса называется прямая, содержащая катет прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Ответ:

3. Что называется основанием конуса?
Основанием конуса называется круг, который образуется при вращении катета, перпендикулярного оси вращения. Ответ:

4. Какая фигура называется боковой поверхностью конуса?
Боковой поверхностью конуса называется поверхность, образованная вращением гипотенузы прямоугольного треугольника, который формирует конус. Ответ:

5. Какие отрезки называются образующими конуса?
Образующими конуса называются отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности его основания. Длина всех образующих прямого кругового конуса одинакова. Ответ:

6. Что называется осевым сечением конуса?
Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, которая проходит через его ось. Такое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, у которого основание равно диаметру основания конуса, а боковые стороны — образующим конуса. Ответ:

7. Что называется вершиной конуса?
Вершиной конуса называется точка, из которой исходят все образующие. Это та вершина исходного прямоугольного треугольника, которая лежит на оси вращения и не принадлежит основанию конуса. Ответ:

8. Что называется высотой конуса?
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. В прямом круговом конусе высота совпадает с его осью, и её длина равна длине катета, вокруг которого вращался треугольник. Ответ:

9. Какая фигура называется разверткой конуса?
Разверткой конуса называется плоская фигура, состоящая из кругового сектора (развертка боковой поверхности) и круга (основание конуса), примыкающего к дуге сектора. Ответ:

10. Что называется площадью поверхности конуса?
Площадью поверхности конуса (или площадью полной поверхности конуса) называется сумма площади его боковой поверхности и площади его основания. Ответ:

11. Что называется площадью боковой поверхности конуса?
Площадью боковой поверхности конуса называется площадь его криволинейной поверхности, образованной вращением гипотенузы. Ответ:

12. Выведите формулу площади боковой поверхности конуса.
Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен длине образующей конуса $l$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус основания. Площадь кругового сектора вычисляется по формуле $S_{сектор} = \frac{1}{2} \cdot (\text{длина дуги}) \cdot (\text{радиус сектора})$. Подставив наши значения, получаем формулу площади боковой поверхности конуса $S_{бок}$:$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot l = \frac{1}{2} \cdot (2\pi r) \cdot l = \pi r l$.Ответ: $S_{бок} = \pi r l$.

13. Выведите формулу площади полной поверхности конуса.
Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ является суммой площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. Основание конуса — это круг радиусом $r$, его площадь равна $S_{осн} = \pi r^2$. Площадь боковой поверхности, как было показано в предыдущем пункте, равна $S_{бок} = \pi r l$. Таким образом, для нахождения площади полной поверхности нужно сложить эти две величины:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$.Эту формулу также можно записать, вынеся общий множитель $\pi r$ за скобки: $S_{полн} = \pi r (r + l)$.Ответ: $S_{полн} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$.

7.1. На листе бумаги в клетку изобразите конус, аналогичный данному на рисунке 7.4. Изобразите его осевое сечение.

Рис. 7.4

Для того чтобы изобразить конус, аналогичный данному, и его осевое сечение, необходимо сначала проанализировать параметры исходного конуса, используя клетчатую сетку. Диаметр основания конуса, представленный на рисунке 7.4, занимает 6 клеток. Следовательно, радиус основания $r$ равен половине диаметра, то есть $r = 6 / 2 = 3$ клетки. Высота конуса $h$, как перпендикуляр от вершины до центра основания, составляет 5 клеток. Таким образом, для построения аналогичного конуса на листе в клетку следует сначала изобразить основание в виде эллипса (так как окружность в проекции искажается), центральная горизонтальная ось которого равна 6 клеткам. Затем от центра этого основания необходимо отсчитать 5 клеток вверх и отметить вершину конуса. Соединив вершину с крайними точками горизонтального диаметра основания, мы получим образующие конуса.

Далее необходимо изобразить осевое сечение. Осевое сечение конуса — это сечение, которое образуется при пересечении конуса плоскостью, проходящей через его ось (прямую, соединяющую вершину и центр основания). Такое сечение всегда представляет собой равнобедренный треугольник. Вершинами этого треугольника являются вершина конуса и две противоположные точки на окружности основания, то есть концы диаметра. Для построения осевого сечения на нашем чертеже нужно соединить вершину конуса с концами горизонтального диаметра (эти линии уже нарисованы как образующие) и провести сам отрезок диаметра. Полученный равнобедренный треугольник и будет являться осевым сечением конуса. Его основание равно диаметру основания конуса ($d=6$ клеток), а высота равна высоте конуса ($h=5$ клеток). Боковые стороны треугольника являются образующими конуса, их длину $l$ можно найти по теореме Пифагора: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$ клетки. Для наглядности осевое сечение на рисунке можно заштриховать.

Ответ: На листе в клетку строится конус с радиусом основания $r=3$ клетки и высотой $h=5$ клеток. Его осевое сечение — это равнобедренный треугольник, который проходит через ось конуса, с основанием, равным диаметру основания конуса (6 клеток), и высотой, равной высоте конуса (5 клеток).

на рисунке 7.1. Поворот его осев

7.2. Сколько образующих имеет конус?

Образующая конуса — это отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой на окружности его основания. Боковая поверхность конуса представляет собой совокупность всех его образующих. Так как окружность, лежащая в основании конуса, состоит из бесконечного множества точек, то и число отрезков, соединяющих эти точки с вершиной, также бесконечно. Следовательно, конус имеет бесконечное множество образующих. Все они равны между собой по длине.
Ответ: Бесконечно много.

7.3. Какой фигурой является сечение конуса плоскостью, параллельной основанию?

7.3. Рассмотрим конус с вершиной в точке $S$ и основанием в виде круга радиуса $R$, лежащего в плоскости $\alpha$. Высота конуса $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $S$ на плоскость основания.
Проведем секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости основания $\alpha$. Эта плоскость пересечет конус по некоторой фигуре. Пусть плоскость $\beta$ отстоит от вершины $S$ на расстоянии $h$, где $0 < h < H$.
Чтобы определить форму сечения, рассмотрим осевое сечение конуса, то есть сечение плоскостью, проходящей через его высоту. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Секущая плоскость $\beta$ пересекает этот треугольник по отрезку, параллельному его основанию.
В результате образуются два подобных прямоугольных треугольника (если рассматривать половину осевого сечения): один большой, с катетами $H$ (высота всего конуса) и $R$ (радиус основания), и второй, малый, с катетами $h$ (высота отсеченного конуса) и $r$ (радиус сечения).
Из подобия этих треугольников следует соотношение их сторон:
$ \frac{r}{R} = \frac{h}{H} $
Отсюда радиус сечения $r$ можно выразить как:
$ r = R \cdot \frac{h}{H} $
Так как для данной секущей плоскости величины $R$, $H$ и $h$ являются постоянными, то и радиус $r$ является постоянной величиной для любой точки на линии сечения. Фигура, все точки границы которой равноудалены от центра, является кругом. Таким образом, сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, — это круг, радиус которого меньше радиуса основания.
Ответ: круг.

7.4. Какая фигура получается вращением равнобедренного треугольника вокруг прямой, содержащей высоту, опущенную на основание этого треугольника (рис. 7.5)?

Рис. 7.5

7.4. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и равными боковыми сторонами $AC$ и $BC$. Прямая $a$, показанная на рисунке, проходит через вершину $C$ и содержит высоту, опущенную на основание $AB$. Эта прямая является осью вращения.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также его медианой и биссектрисой. Это значит, что она делит исходный треугольник $ABC$ на два равных (конгруэнтных) прямоугольных треугольника: $ \triangle ADC $ и $ \triangle BDC $, где $D$ — точка пересечения высоты с основанием $AB$.

При вращении всего равнобедренного треугольника $ABC$ вокруг прямой $a$, мы фактически вращаем один из этих прямоугольных треугольников, например $ \triangle ADC $, вокруг его катета $CD$. Фигура, которая образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, называется конусом.

В полученном конусе высота равнобедренного треугольника (отрезок $CD$) становится высотой конуса. Половина основания ($AD$) становится радиусом основания конуса. Боковая сторона ($AC$) становится образующей конуса. Вращение второго прямоугольного треугольника ($ \triangle BDC $) образует ту же самую фигуру.

Таким образом, в результате вращения равнобедренного треугольника вокруг прямой, содержащей его высоту, опущенную на основание, получается конус.

Ответ: Конус.

7.5. Какая фигура получается при вращении отрезка $AC$ вокруг прямой $a$, лежащей в одной плоскости с этим отрезком, проходящей через его конец $C$ и не перпендикулярной этому отрезку (рис. 7.6)?

Рис. 7.6

При вращении отрезка $AC$ вокруг прямой $a$ происходит следующее:

1. Точка $C$ принадлежит оси вращения $a$. Любая точка, лежащая на оси вращения, при вращении вокруг этой оси остается неподвижной. Следовательно, точка $C$ будет являться вершиной получаемой фигуры.

2. Точка $A$ не принадлежит оси вращения $a$. При вращении вокруг прямой любая точка, не лежащая на ней, описывает окружность. Центр этой окружности лежит на оси вращения, а плоскость окружности перпендикулярна оси. Таким образом, точка $A$ опишет окружность, которая станет основанием фигуры.

3. Отрезок $AC$ в процессе вращения соединяет неподвижную вершину $C$ с каждой точкой окружности, которую описывает точка $A$. Такой отрезок называется образующей, а поверхность, которую он описывает, — конической поверхностью.

Фигура, которая состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины), и всех отрезков, соединяющих вершину с точками окружности основания, называется конусом. В данном случае мы имеем дело именно с такой фигурой.

Поскольку ось вращения $a$ проходит через вершину $C$ и перпендикулярна плоскости основания (так как плоскость вращения точки $A$ всегда перпендикулярна оси $a$), полученный конус является прямым круговым конусом.

Ответ: Конус.