Страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какое преобразование пространства называется поворотом вокруг прямой?

2. Какая фигура называется фигурой вращения?

3. Какая фигура называется цилиндром?

4. Что называется осью цилиндра?

5. Что называется основаниями цилиндра?

6. Какая фигура называется боковой поверхностью цилиндра?

7. Какие отрезки называются образующими цилиндра?

8. Что называется высотой цилиндра?

9. Что называется осевым сечением цилиндра?

10. Что называется разверткой цилиндра?

11. Что называется площадью поверхности цилиндра?

12. Что называется площадью боковой поверхности цилиндра?

13. Выведите формулу площади боковой поверхности цилиндра.

14. Выведите формулу площади полной поверхности цилиндра.

1. Какое преобразование пространства называется поворотом вокруг прямой?
Поворотом пространства вокруг прямой (называемой осью вращения) на заданный угол называется такое преобразование, при котором каждая точка пространства перемещается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Центром этого перемещения (поворота в плоскости) является точка пересечения этой плоскости с осью вращения. Все точки, лежащие на самой оси, остаются неподвижными.
Ответ: Преобразование пространства, при котором каждая точка описывает дугу окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения, с центром на этой оси.

2. Какая фигура называется фигурой вращения?
Фигурой вращения называется трехмерное тело, которое образуется при вращении некоторой плоской фигуры (или линии) вокруг прямой, лежащей в той же плоскости, что и эта фигура. Эта прямая называется осью вращения. Примерами фигур вращения являются шар (вращение полукруга вокруг диаметра), конус (вращение прямоугольного треугольника вокруг катета) и цилиндр (вращение прямоугольника вокруг одной из его сторон).
Ответ: Тело, образованное вращением плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в той же плоскости.

3. Какая фигура называется цилиндром?
Цилиндр (или, точнее, прямой круговой цилиндр) — это геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эта сторона становится осью цилиндра. Две другие стороны, перпендикулярные оси, образуют два круга, которые называются основаниями цилиндра. Четвертая сторона, параллельная оси, при вращении образует боковую поверхность цилиндра.
Ответ: Геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными кругами (основаниями) и цилиндрической поверхностью.

4. Что называется осью цилиндра?
Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры его двух оснований. В контексте образования цилиндра путем вращения, это та сторона прямоугольника, вокруг которой происходит вращение.
Ответ: Прямая, проходящая через центры оснований цилиндра.

5. Что называется основаниями цилиндра?
Основаниями цилиндра называются два равных и параллельных круга, которые ограничивают цилиндр. Они образуются в результате вращения сторон прямоугольника, перпендикулярных оси вращения.
Ответ: Два равных и параллельных круга, ограничивающих цилиндр.

6. Какая фигура называется боковой поверхностью цилиндра?
Боковой поверхностью цилиндра называется поверхность, образованная вращением стороны прямоугольника, параллельной оси вращения. Она соединяет окружности оснований цилиндра.
Ответ: Поверхность, образованная всеми образующими цилиндра.

7. Какие отрезки называются образующими цилиндра?
Образующими цилиндра называются все отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований. Все образующие параллельны оси цилиндра и равны его высоте. Они представляют собой все возможные положения стороны вращаемого прямоугольника, которая параллельна оси вращения.
Ответ: Отрезки, соединяющие окружности оснований и параллельные оси цилиндра.

8. Что называется высотой цилиндра?
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. В прямом круговом цилиндре высота равна длине его образующей. Обозначается обычно буквой $H$.
Ответ: Перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований цилиндра.

9. Что называется осевым сечением цилиндра?
Осевым сечением цилиндра называется сечение (разрез) цилиндра плоскостью, которая проходит через его ось. У прямого кругового цилиндра осевое сечение всегда представляет собой прямоугольник, две стороны которого — диаметры оснований, а две другие — образующие цилиндра.
Ответ: Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

10. Что называется разверткой цилиндра?
Разверткой цилиндра называется плоская фигура, из которой можно сложить (склеить) поверхность цилиндра. Развертка состоит из прямоугольника, который образует боковую поверхность, и двух кругов, которые являются основаниями.
Ответ: Плоская фигура, состоящая из прямоугольника и двух кругов, из которой можно составить поверхность цилиндра.

11. Что называется площадью поверхности цилиндра?
Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площади его боковой поверхности и площадей двух его оснований. Это общая площадь всех поверхностей, ограничивающих тело цилиндра.
Ответ: Сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

12. Что называется площадью боковой поверхности цилиндра?
Площадью боковой поверхности цилиндра называется площадь его изогнутой части, без учета оснований. Эта площадь равна площади прямоугольника в развертке цилиндра.
Ответ: Площадь его развертки без площади оснований.

13. Выведите формулу площади боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) можно найти, рассмотрев его развертку. Боковая поверхность разворачивается в прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$. Другая сторона равна длине окружности основания, так как именно эта сторона "оборачивается" вокруг круга. Длина окружности с радиусом $R$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Следовательно, формула площади боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок} = H \cdot (2\pi R) = 2\pi RH$
Ответ: $S_{бок} = 2\pi RH$, где $R$ — радиус основания, $H$ — высота.

14. Выведите формулу площади полной поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух одинаковых оснований ($S_{осн}$).
1. Площадь боковой поверхности, как мы выяснили, равна $S_{бок} = 2\pi RH$.
2. Основание цилиндра — это круг радиусом $R$. Площадь одного круга вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$.
3. Так как у цилиндра два основания, их суммарная площадь равна $2 \cdot S_{осн} = 2\pi R^2$.
4. Сложим площадь боковой поверхности и площадь двух оснований:$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi RH + 2\pi R^2$.
Эту формулу также можно записать, вынеся общий множитель $2\pi R$ за скобки: $S_{полн} = 2\pi R(H + R)$.
Ответ: $S_{полн} = 2\pi RH + 2\pi R^2 = 2\pi R(H + R)$, где $R$ — радиус основания, $H$ — высота.

6.1. На листе бумаги в клетку изобразите цилиндр, аналогичный данному на рисунке 6.8. Изобразите его осевое сечение.

Рис. 6.8

Для выполнения задания необходимо проанализировать размеры цилиндра, представленного на рисунке, и затем последовательно описать построение аналогичного цилиндра и его осевого сечения на клетчатой бумаге.

Анализ исходного рисунка показывает, что цилиндр изображен на сетке, где одна клетка используется как единица измерения. Диаметр его основания $d$ равен 6 клеткам, а высота $h$ равна 5 клеткам. Следовательно, радиус основания $r$ равен $r = d/2 = 6/2 = 3$ клетки.

Изобразите цилиндр, аналогичный данному на рисунке 6.8

Чтобы построить цилиндр на листе бумаги в клетку, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Нарисовать нижнее основание. В перспективе круг изображается как эллипс. Рисуем эллипс, горизонтальная ось которого (соответствующая диаметру) равна 6 клеткам. Переднюю, видимую дугу эллипса изображаем сплошной линией, а заднюю, невидимую — пунктирной.

2. Из крайних точек диаметра нижнего основания провести вверх два параллельных вертикальных отрезка (образующие цилиндра). Длина каждого отрезка должна быть равна высоте цилиндра, то есть 5 клеткам.

3. Соединить верхние концы этих образующих вторым эллипсом, идентичным нижнему. Поскольку верхнее основание видно целиком, его следует нарисовать полностью сплошной линией.

Ответ: Построен цилиндр, у которого радиус основания равен 3 клеткам, а высота — 5 клеткам.

Изобразите его осевое сечение

Осевое сечение — это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось вращения. Для прямого кругового цилиндра ось вращения соединяет центры его оснований.

1. Осевое сечение цилиндра всегда является прямоугольником.

2. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$. В данном случае $h = 5$ клеток.

3. Другая сторона этого прямоугольника равна диаметру основания цилиндра $d$. В данном случае $d = 2r = 6$ клеток.

4. Чтобы изобразить осевое сечение на рисунке цилиндра, нужно выделить прямоугольник, который образован двумя крайними образующими и диаметрами верхнего и нижнего оснований, лежащими в плоскости сечения.

Ответ: Осевое сечение данного цилиндра — это прямоугольник со сторонами 5 клеток и 6 клеток.

6.2. Сколько образующих имеет цилиндр?

6.2. Чтобы определить количество образующих у цилиндра, сначала разберемся, что такое образующая. Цилиндр можно рассматривать как геометрическое тело, образованное движением отрезка (образующей) в пространстве. Образующие цилиндра – это параллельные друг другу отрезки, которые соединяют соответствующие точки на окружностях двух оснований цилиндра.
Боковая поверхность цилиндра состоит из всех этих образующих. Поскольку основанием цилиндра является круг, его граница (окружность) состоит из бесконечного множества точек. Для каждой точки на окружности одного основания существует соответствующая точка на окружности другого основания. Эти две точки соединяются одной уникальной образующей.
Так как количество точек на окружности бесконечно, то и количество отрезков, соединяющих эти точки (то есть образующих), также будет бесконечным.

Ответ: Цилиндр имеет бесконечно много образующих.