Страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.5 Имеет ли правильная шестиугольная призма (рис. 5.17):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 5.17

Правильная шестиугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник. У такой призмы боковые грани являются прямоугольниками и перпендикулярны основаниям.

а) центр симметрии;

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $M$ фигуры точка $M'$, симметричная $M$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре.
Правильная шестиугольная призма имеет центр симметрии. Этот центр $O$ является серединой отрезка, соединяющего центры $O_{нижн}$ и $O_{верхн}$ ее оснований.
При симметрии относительно точки $O$ каждая вершина одного основания переходит в противолежащую ей вершину другого основания (например, вершина $A$ переходит в вершину $D_1$, вершина $B$ — в $E_1$ и т.д.). Любая точка на боковой поверхности или внутри призмы также перейдет в точку, принадлежащую призме. Следовательно, вся призма отображается на себя.
Ответ: да, имеет.

б) оси симметрии;

Осью симметрии фигуры называется прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, не равный $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Правильная шестиугольная призма имеет 7 осей симметрии:
1. Одна ось симметрии шестого порядка. Это прямая, проходящая через центры оснований призмы. Поворот вокруг этой оси на углы $60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ$ совмещает призму с собой.
2. Шесть осей симметрии второго порядка. Все они лежат в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит ровно посередине между ними (через центр симметрии призмы). Поворот вокруг каждой из этих осей на $180^\circ$ совмещает призму с собой. Эти оси делятся на два типа:
- Три оси, проходящие через середины противолежащих боковых ребер (например, через середины ребер $AA_1$ и $DD_1$).
- Три оси, проходящие через середины противолежащих боковых граней (например, через центры граней $ABB_1A_1$ и $EDD_1E_1$).
Таким образом, всего $1 + 3 + 3 = 7$ осей симметрии.
Ответ: да, имеет (7 осей).

в) плоскости симметрии?

Плоскостью симметрии фигуры называется такая плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальным отражением друг друга. Правильная шестиугольная призма имеет 7 плоскостей симметрии:
1. Одна горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость параллельна основаниям и проходит через середину высоты призмы (через ее центр симметрии). Она делит призму на верхнюю и нижнюю половины, которые являются зеркальными отражениями друг друга.
2. Шесть вертикальных плоскостей симметрии. Все они перпендикулярны основаниям и проходят через главную ось симметрии. Эти плоскости делятся на два типа:
- Три диагональные плоскости, каждая из которых проходит через пару противолежащих вершин оснований (например, через вершины $A, D, D_1, A_1$).
- Три плоскости, каждая из которых проходит через середины противолежащих сторон оснований (например, через середины сторон $AB$ и $ED$).
Таким образом, всего $1 + 3 + 3 = 7$ плоскостей симметрии.
Ответ: да, имеет (7 плоскостей).

5.6 Имеет ли правильная четырехугольная пирамида (рис. 5.18):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 5.18

а)Центр симметрии — это точка, относительно которой фигура является симметричной. Предположим, что у правильной четырехугольной пирамиды есть центр симметрии $O$. Тогда для любой точки фигуры, например, для вершины $S$, должна существовать симметричная ей точка $S'$, также принадлежащая пирамиде. Однако, для вершины $S$ такой симметричной точки нет. Точка, симметричная вершине $S$ относительно любой точки $O$ внутри пирамиды, будет находиться вне фигуры (под основанием). Таким образом, правильная четырехугольная пирамида не имеет центра симметрии.
Ответ: нет.

б)Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на определенный угол (не равный $360^\circ$) фигура переходит сама в себя. У правильной четырехугольной пирамиды есть одна ось симметрии. Это прямая, проходящая через вершину пирамиды $S$ и центр ее основания (точку пересечения диагоналей квадрата). При повороте вокруг этой оси на углы $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ пирамида совмещается сама с собой. Основание (квадрат) переходит в себя, а боковые грани меняются местами. Других осей симметрии у данной фигуры нет.
Ответ: да, одна ось симметрии.

в)Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально симметричные части. Правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии.
1. Две "диагональные" плоскости, каждая из которых проходит через вершину пирамиды $S$ и диагональ основания. Например, плоскость, проходящая через вершины $S, A, C$, является плоскостью симметрии, так как она зеркально отображает одну половину пирамиды (содержащую ребро $SB$) на другую (содержащую ребро $SD$). Аналогично для плоскости, проходящей через вершины $S, B, D$.
2. Две плоскости, проходящие через вершину $S$ и средние линии квадрата в основании. Каждая такая плоскость проходит через середины противолежащих сторон основания и вершину $S$. Например, плоскость, проходящая через $S$ и середины сторон $AB$ и $CD$, делит пирамиду на две зеркально равные части.
Итого у правильной четырехугольной пирамиды 4 плоскости симметрии.
Ответ: да, четыре плоскости симметрии.

5.7. Имеет ли правильная шестиугольная пирамида (рис. 5.19):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 5.19

а) Центр симметрии – это точка, относительно которой любая точка фигуры имеет симметричную ей точку, также принадлежащую фигуре. Предположим, у правильной шестиугольной пирамиды есть центр симметрии $O$. Тогда для вершины пирамиды $S$ должна существовать симметричная ей точка $S'$, которая также принадлежит пирамиде. Точка $S'$ должна находиться на прямой $SO$ на таком же расстоянии от $O$, что и $S$, но с другой стороны. Такая точка будет лежать вне пирамиды (под ее основанием), так как у пирамиды только одна вершина $S$ и основание. Следовательно, у правильной шестиугольной пирамиды нет центра симметрии.
Ответ: нет.

б) Ось симметрии – это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (отличный от $360^\circ$) фигура совмещается сама с собой. Для правильной шестиугольной пирамиды такая ось существует, и она единственна. Это прямая, проходящая через вершину пирамиды $S$ и центр ее основания $O$ (высота пирамиды). Основание пирамиды — правильный шестиугольник, который совмещается сам с собой при повороте вокруг своего центра на угол, кратный $60^\circ$ ($360^\circ/6$). Поскольку вершина $S$ лежит на оси вращения, то и вся пирамида при таких поворотах совмещается сама с собой. Других осей симметрии у пирамиды нет, так как любая другая ось не сохранила бы положение вершины $S$.
Ответ: да, одна ось симметрии.

в) Плоскость симметрии – это плоскость, отражение относительно которой переводит фигуру в себя. Правильная шестиугольная пирамида имеет плоскости симметрии двух типов. Все они проходят через вершину $S$. Первый тип — это три плоскости, которые проходят через противоположные вершины основания (например, через $A$ и $D$). Второй тип — это три плоскости, которые проходят через середины противоположных сторон основания (например, сторон $AB$ и $ED$). Итого, у правильной шестиугольной пирамиды $3 + 3 = 6$ плоскостей симметрии.
Ответ: да, шесть плоскостей симметрии.

5.8. На листе бумаги в клетку изобразите пирамиду, центрально-симметричную пирамиде $SABCD$ относительно точки $O$, изображенной на рисунке 5.20.

Рис. 5.20

Для построения пирамиды, центрально-симметричной данной пирамиде $SABCD$ относительно точки $O$, необходимо для каждой вершины исходной пирамиды (точек $S, A, B, C, D$) построить симметричную ей точку относительно центра симметрии $O$.

Точка $M'$ называется симметричной точке $M$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Это означает, что для построения точки $M'$ нужно провести луч из точки $M$ через точку $O$ и отложить на этом луче отрезок $OM'$, равный по длине отрезку $OM$. Векторно это выражается как $\vec{OM'} = -\vec{OM}$.

Будем выполнять построение для каждой вершины на листе в клетку, используя смещения по горизонтали и вертикали относительно точки $O$.

1. Построение точки $A'$, симметричной точке $A$.
Чтобы попасть из точки $O$ в точку $A$, нужно сместиться на 3 клетки влево и на 2 клетки вниз. Следовательно, для построения точки $A'$ нужно из точки $O$ сместиться в противоположных направлениях: на 3 клетки вправо и на 2 клетки вверх.

2. Построение точки $B'$, симметричной точке $B$.
Чтобы попасть из точки $O$ в точку $B$, нужно сместиться на 1 клетку вправо и на 2 клетки вниз. Для построения точки $B'$ из точки $O$ смещаемся на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх.

3. Построение точки $C'$, симметричной точке $C$.
Чтобы попасть из точки $O$ в точку $C$, нужно сместиться на 2 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Для построения точки $C'$ из точки $O$ смещаемся на 2 клетки влево и на 1 клетку вниз.

4. Построение точки $D'$, симметричной точке $D$.
Чтобы попасть из точки $O$ в точку $D$, нужно сместиться на 2 клетки влево и на 1 клетку вверх. Для построения точки $D'$ из точки $O$ смещаемся на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз.

5. Построение точки $S'$, симметричной вершине $S$.
Чтобы попасть из точки $O$ в точку $S$, нужно сместиться на 1 клетку влево и на 3 клетки вверх. Для построения точки $S'$ из точки $O$ смещаемся на 1 клетку вправо и на 3 клетки вниз.

После нахождения всех симметричных вершин $A', B', C', D', S'$, соединяем их, чтобы получить искомую пирамиду $S'A'B'C'D'$. Основанием новой пирамиды будет четырехугольник $A'B'C'D'$, а вершиной — точка $S'$.

При изображении новой пирамиды следует учесть видимость ребер. В исходной пирамиде ребра $AD$ и $SD$ показаны пунктиром как невидимые. В симметричной пирамиде $S'A'B'C'D'$ невидимыми будут ребра $B'C'$ и $S'B'$, так как они окажутся "за" пирамидой при стандартном ракурсе. Ребро $S'C'$ также будет невидимым.

Ответ:
Изображение искомой пирамиды $S'A'B'C'D'$ получается путем построения точек $A', B', C', D', S'$, центрально-симметричных вершинам исходной пирамиды $A, B, C, D, S$ относительно точки $O$, и их последующего соединения. Координаты новых вершин относительно точки $O$, принятой за начало координат $(0,0)$, будут следующими: $A'(3, 2)$, $B'(-1, 2)$, $C'(-2, -1)$, $D'(2, -1)$, $S'(1, -3)$. Основание $A'B'C'D'$ является трапецией. Ребра $A'B'$, $A'D'$, $D'C'$, $S'A'$ и $S'D'$ являются видимыми и чертятся сплошной линией. Ребра $B'C'$, $S'B'$ и $S'C'$ являются невидимыми и чертятся пунктирной линией.

5.9. Укажите центры симметрии фигуры, состоящей из двух параллельных прямых.

5.9. Центром симметрии фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $A$ фигуры, точка $A'$, симметричная $A$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Иными словами, преобразование центральной симметрии относительно точки $O$ переводит фигуру в себя.

Рассмотрим фигуру, состоящую из двух различных параллельных прямых, которые мы обозначим как $l_1$ и $l_2$.

Пусть точка $O$ является центром симметрии данной фигуры. Возьмем произвольную точку $A$ на прямой $l_1$. Симметричная ей точка $A'$ относительно $O$ должна также принадлежать фигуре, то есть лежать либо на $l_1$, либо на $l_2$.

Если бы точка $A'$ лежала на той же прямой $l_1$, то это означало бы, что прямая $l_1$ симметрична сама себе относительно $O$. Это возможно, только если точка $O$ лежит на прямой $l_1$. Однако, если центр симметрии $O$ лежит на прямой $l_1$, то для любой точки $B$ на прямой $l_2$, симметричная ей точка $B'$ не будет принадлежать ни $l_1$, ни $l_2$. Таким образом, ни одна точка, принадлежащая самим прямым, не может быть центром симметрии для всей фигуры.

Следовательно, для любой точки $A$ на прямой $l_1$, симметричная ей точка $A'$ должна лежать на прямой $l_2$. Аналогично, для любой точки $B$ на $l_2$, симметричная ей точка $B'$ должна лежать на $l_1$. Это означает, что центральная симметрия с центром в точке $O$ отображает прямую $l_1$ на прямую $l_2$ и наоборот.

Такое отображение возможно только в том случае, если центр симметрии $O$ равноудален от обеих прямых. Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух параллельных прямых, представляет собой прямую, параллельную данным и проходящую точно посередине между ними.

Докажем это строго. Введем декартову систему координат. Расположим наши прямые так, чтобы они были параллельны оси абсцисс. Пусть уравнение прямой $l_1$ будет $y=d$, а уравнение прямой $l_2$ будет $y=-d$, где $d>0$. Прямая, равноудаленная от $l_1$ и $l_2$, — это ось абсцисс, ее уравнение $y=0$.

Возьмем любую точку $O$ на этой средней прямой. Ее координаты будут $(x_0, 0)$. Проверим, является ли она центром симметрии.

1. Пусть $A(x_a, d)$ — произвольная точка на прямой $l_1$. Найдем координаты симметричной ей точки $A'(x', y')$ относительно $O$. По формуле середины отрезка:$x_0 = \frac{x_a + x'}{2} \Rightarrow x' = 2x_0 - x_a$$0 = \frac{d + y'}{2} \Rightarrow y' = -d$Точка $A'$ имеет координаты $(2x_0 - x_a, -d)$, а значит, она лежит на прямой $l_2$ и принадлежит фигуре.

2. Пусть $B(x_b, -d)$ — произвольная точка на прямой $l_2$. Найдем координаты симметричной ей точки $B'(x'', y'')$ относительно $O$:$x_0 = \frac{x_b + x''}{2} \Rightarrow x'' = 2x_0 - x_b$$0 = \frac{-d + y''}{2} \Rightarrow y'' = d$Точка $B'$ имеет координаты $(2x_0 - x_b, d)$, а значит, она лежит на прямой $l_1$ и принадлежит фигуре.

Поскольку любая точка на прямой $y=0$ удовлетворяет условию центра симметрии, все точки этой прямой являются центрами симметрии. Если же взять точку $C(x_c, y_c)$ с $y_c \neq 0$, то для точки $A(x_a, d)$ на $l_1$ симметричная ей точка $A'$ будет иметь ординату $y' = 2y_c - d$. Так как $y_c \neq 0$ и $y_c \neq d$, то $y'$ не будет равно ни $d$, ни $-d$, а значит, точка $A'$ не будет принадлежать фигуре. Таким образом, никакая точка вне серединной прямой не является центром симметрии.

Ответ: Множество центров симметрии фигуры, состоящей из двух параллельных прямых, — это прямая, параллельная этим двум прямым и находящаяся на одинаковом расстоянии от каждой из них (то есть проходящая посередине между ними).