Страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какие точки пространства называются центрально-симметричными?

2. Какое преобразование пространства называется центральной симметрией?

3. Какие две фигуры в пространстве называются центрально-симметричными?

4. Какая фигура в пространстве называется центрально-симметричной?

5. Какие точки называются симметричными относительно оси?

6. Какое преобразование пространства называется осевой симметрией?

7. Какие две фигуры в пространстве называются симметричными относительно оси?

8. Какая фигура в пространстве называется симметричной относительно оси?

9. Какие точки пространства называются симметричными относительно плоскости?

10. Какое преобразование пространства называется зеркальной симметрией?

11. Какие две фигуры в пространстве называются зеркально-симметричными?

12. Какая фигура в пространстве называется зеркально-симметричной?

1. Какие точки пространства называются центрально-симметричными? Две точки $A$ и $A'$ называются центрально-симметричными относительно точки $O$ (центра симметрии), если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой, причем отрезки $AO$ и $OA'$ равны. Если точка $A$ совпадает с центром $O$, то она симметрична самой себе.
Ответ: Точки $A$ и $A'$ называются центрально-симметричными относительно центра $O$, если $O$ — середина отрезка $AA'$.

2. Какое преобразование пространства называется центральной симметрией? Центральной симметрией относительно точки $O$ называется преобразование пространства, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что $O$ является серединой отрезка $MM'$. Точка $O$ при этом преобразовании переходит сама в себя. Центральная симметрия является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между точками.
Ответ: Преобразование пространства, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную ей относительно заданного центра $O$.

3. Какие две фигуры в пространстве называются центрально-симметричными? Две фигуры $F$ и $F'$ называются центрально-симметричными относительно точки $O$, если при центральной симметрии с центром $O$ фигура $F$ переходит в фигуру $F'$. Это значит, что для любой точки фигуры $F$ симметричная ей точка относительно $O$ принадлежит фигуре $F'$, и наоборот, для любой точки фигуры $F'$ симметричная ей точка принадлежит фигуре $F$.
Ответ: Две фигуры, которые переходят друг в друга при центральной симметрии относительно некоторой точки.

4. Какая фигура в пространстве называется центрально-симметричной? Фигура называется центрально-симметричной, если существует такая точка $O$ (центр симметрии), что центральная симметрия относительно этой точки переводит фигуру в саму себя. Это означает, что если точка $A$ принадлежит фигуре, то и симметричная ей относительно центра $O$ точка $A'$ также принадлежит этой фигуре. Примерами центрально-симметричных фигур являются шар, куб, параллелепипед, сфера.
Ответ: Фигура, которая при центральной симметрии относительно некоторой точки (центра симметрии) переходит сама в себя.

5. Какие точки называются симметричными относительно оси? Две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно прямой $l$ (оси симметрии), если прямая $l$ проходит через середину отрезка $AA'$ и перпендикулярна ему. Каждая точка, лежащая на оси $l$, считается симметричной самой себе относительно этой оси.
Ответ: Точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно оси $l$, если эта ось перпендикулярна отрезку $AA'$ и проходит через его середину.

6. Какое преобразование пространства называется осевой симметрией? Осевой симметрией относительно прямой $l$ называется преобразование пространства, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$, симметричную ей относительно оси $l$. Точки, лежащие на оси симметрии, переходят сами в себя. В пространстве осевая симметрия представляет собой поворот на 180° вокруг оси. Осевая симметрия является движением.
Ответ: Преобразование пространства, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную ей относительно заданной оси $l$.

7. Какие две фигуры в пространстве называются симметричными относительно оси? Две фигуры $F$ и $F'$ называются симметричными относительно оси $l$, если при осевой симметрии относительно прямой $l$ фигура $F$ переходит в фигуру $F'$. Это означает, что для каждой точки фигуры $F$ симметричная ей относительно оси $l$ точка принадлежит фигуре $F'$, и наоборот.
Ответ: Две фигуры, которые переходят друг в друга при осевой симметрии относительно некоторой прямой.

8. Какая фигура в пространстве называется симметричной относительно оси? Фигура называется симметричной относительно оси (или осесимметричной), если существует такая прямая $l$ (ось симметрии), что осевая симметрия относительно этой прямой переводит фигуру в саму себя. Это означает, что для любой точки фигуры симметричная ей точка относительно оси $l$ также принадлежит этой фигуре. Примерами являются цилиндр, конус, шар, тор.
Ответ: Фигура, которая при осевой симметрии относительно некоторой прямой (оси симметрии) переходит сама в себя.

9. Какие точки пространства называются симметричными относительно плоскости? Две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно плоскости $\alpha$ (плоскости симметрии), если эта плоскость проходит через середину отрезка $AA'$ и перпендикулярна ему. Если точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, то она считается симметричной самой себе.
Ответ: Точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно плоскости $\alpha$, если эта плоскость перпендикулярна отрезку $AA'$ и проходит через его середину.

10. Какое преобразование пространства называется зеркальной симметрией? Зеркальной симметрией (или симметрией относительно плоскости) называется преобразование пространства, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$, симметричную ей относительно плоскости $\alpha$. Точки, принадлежащие плоскости $\alpha$, переходят сами в себя. Зеркальная симметрия является движением, но изменяет ориентацию пространства (например, левый объект переходит в правый).
Ответ: Преобразование пространства, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную ей относительно заданной плоскости $\alpha$.

11. Какие две фигуры в пространстве называются зеркально-симметричными? Две фигуры $F$ и $F'$ называются зеркально-симметричными относительно плоскости $\alpha$, если при зеркальной симметрии относительно плоскости $\alpha$ фигура $F$ переходит в фигуру $F'$. Это значит, что для любой точки фигуры $F$ симметричная ей точка относительно плоскости $\alpha$ принадлежит фигуре $F'$, и наоборот.
Ответ: Две фигуры, которые переходят друг в друга при симметрии относительно некоторой плоскости.

12. Какая фигура в пространстве называется зеркально-симметричной? Фигура называется зеркально-симметричной, если существует такая плоскость $\alpha$ (плоскость симметрии), что зеркальная симметрия относительно этой плоскости переводит фигуру в саму себя. Это означает, что для любой точки фигуры симметричная ей относительно плоскости $\alpha$ точка также принадлежит этой фигуре. Примерами могут служить шар, куб, конус, правильная пирамида.
Ответ: Фигура, которая при симметрии относительно некоторой плоскости (плоскости симметрии) переходит сама в себя.

5.1. Приведите примеры центрально-симметричных и не центрально-симметричных фигур в пространстве.

Примеры центрально-симметричных фигур в пространстве

Фигура в пространстве называется центрально-симметричной, если существует такая точка $O$ (называемая центром симметрии), что для любой точки $M$ этой фигуры точка $M'$, симметричная $M$ относительно центра $O$, также принадлежит этой фигуре. Точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Приведем несколько примеров таких фигур:

1. Шар (сфера).Центром симметрии является центр шара (сферы). Любая точка на поверхности сферы имеет симметричную ей точку относительно центра, которая также лежит на поверхности.

2. Параллелепипед (включая куб и прямоугольный параллелепипед).Центром симметрии является точка пересечения его диагоналей.

3. Прямой круговой цилиндр.Центром симметрии является середина отрезка, соединяющего центры его оснований.

4. Отрезок.Центром симметрии является его середина.

5. Прямая, плоскость, всё пространство.Для этих фигур любая их точка может служить центром симметрии.

6. Октаэдр.Центром симметрии является точка пересечения его больших диагоналей.

Ответ: Шар, куб, параллелепипед, прямой круговой цилиндр, отрезок, прямая, плоскость, октаэдр.

Примеры не центрально-симметричных фигур в пространстве

Фигура является не центрально-симметричной, если у нее не существует центра симметрии. То есть, для любой выбранной точки $O$ можно найти такую точку $M$ фигуры, что симметричная ей точка $M'$ относительно $O$ не будет принадлежать фигуре.

Приведем несколько примеров:

1. Конус.У конуса нет центра симметрии. Например, если предположить, что центр симметрии существует, то вершина конуса должна была бы иметь симметричную точку, которая также являлась бы вершиной, что невозможно.

2. Пирамида (любая, включая тетраэдр).Как и у конуса, у пирамиды есть единственная вершина, которой не соответствует никакая другая симметричная точка.

3. Полусфера или полушар.Эти фигуры ограничены с одной стороны плоскостью, а с другой — сферической поверхностью, что нарушает возможность центральной симметрии.

4. Усеченный конус.Так как радиусы оснований усеченного конуса различны, он не может иметь центра симметрии (за исключением вырожденного случая, когда он становится цилиндром).

5. Луч.Луч имеет начальную точку, но бесконечен только в одном направлении, поэтому он не может быть центрально-симметричным.

6. Призма, основанием которой является нецентрально-симметричный многоугольник(например, правильный треугольник или произвольный четырехугольник).

Ответ: Конус, пирамида, тетраэдр, полусфера, усеченный конус, луч.

5.2 Имеет ли куб (рис. 5.14):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 5.14

а) центр симметрии Да, куб имеет центр симметрии. Центром симметрии куба является точка пересечения его пространственных диагоналей (например, диагоналей $AC_1$ и $BD_1$). Эта точка является серединой любой пространственной диагонали, а также серединой любого отрезка, соединяющего центры противоположных граней или середины противоположных ребер. Для любой точки $M$, принадлежащей кубу, точка $M'$, симметричная ей относительно центра симметрии, также принадлежит кубу. Ответ: да, имеет.

б) оси симметрии Да, куб имеет оси симметрии. Всего у куба 13 осей симметрии, которые можно разделить на три типа. Первый тип – это 3 оси, проходящие через центры противоположных граней (повороты на $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ совмещают куб с собой). Второй тип – это 6 осей, проходящих через середины противоположных ребер (поворот на $180^\circ$ совмещает куб с собой). Третий тип – это 4 оси, совпадающие с четырьмя пространственными диагоналями куба (повороты на $120^\circ$ и $240^\circ$ совмещают куб с собой). Суммарно получается $3 + 6 + 4 = 13$ осей. Ответ: да, имеет.

в) плоскости симметрии Да, куб имеет плоскости симметрии. Всего у куба 9 плоскостей симметрии, которые можно разделить на два типа. Первый тип – это 3 плоскости, проходящие через середины четырех параллельных ребер. Каждая такая плоскость параллельна паре противоположных граней и проходит ровно посередине между ними. Второй тип – это 6 диагональных плоскостей. Каждая такая плоскость проходит через два противоположных ребра куба (например, через ребра $AD$ и $B_1C_1$). Суммарно получается $3 + 6 = 9$ плоскостей. Ответ: да, имеет.

5.3 Имеет ли правильный тетраэдр (рис. 5.15):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 5.15

а) Центр симметрии — это точка, относительно которой фигура симметрична. Если бы у правильного тетраэдра существовал центр симметрии, то для каждой его вершины (например, D) нашлась бы другая симметричная ей вершина. Однако в тетраэдре напротив каждой вершины лежит грань, а не другая вершина. Таким образом, точка, симметричная любой вершине тетраэдра относительно его единственного возможного центра (центра масс), будет лежать вне тетраэдра. Следовательно, правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Ответ: нет.

б) Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на угол, меньший $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Правильный тетраэдр имеет оси симметрии. Их можно разделить на два типа. Первый тип — оси, проходящие через вершину и центр противоположной грани. Таких осей 4, и поворот вокруг них на $120^\circ$ или $240^\circ$ совмещает тетраэдр с собой. Второй тип — оси, проходящие через середины двух противоположных (скрещивающихся) ребер. Таких осей 3, и поворот вокруг них на $180^\circ$ совмещает тетраэдр с собой. Всего у правильного тетраэдра $4 + 3 = 7$ осей симметрии. Ответ: да, имеет 7 осей симметрии.

в) Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальными отражениями друг друга. У правильного тетраэдра плоскости симметрии проходят через любое ребро и середину скрещивающегося с ним ребра. Такая плоскость является плоскостью симметрии, так как отражение в ней меняет местами две оставшиеся вершины, а вершины, принадлежащие ребру в плоскости, остаются на месте. Поскольку у тетраэдра 6 ребер, он имеет 6 таких плоскостей симметрии. Ответ: да, имеет 6 плоскостей симметрии.

5.4 Имеет ли правильная треугольная призма (рис. 5.16):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 5.16

а) Центр симметрии — это такая точка $O$, что для любой точки фигуры $P$ симметричная ей относительно $O$ точка $P'$ (где $O$ — середина отрезка $PP'$) также принадлежит этой фигуре. Многогранник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его грани и вершины попарно-симметричны относительно этого центра. У правильной треугольной призмы 6 вершин. Если бы центр симметрии существовал, то для вершины $A$ нашлась бы симметричная ей вершина $A'$, для $B$ — вершина $B'$ и для $C$ — вершина $C'$. Однако, у оснований призмы, которые являются правильными треугольниками, нет центра симметрии. Если бы мы предположили наличие центра симметрии у призмы, то он должен был бы лежать на середине отрезка, соединяющего центры оснований. Но тогда, например, отражение вершины $A$ нижнего основания не совпало бы ни с одной из вершин верхнего основания. Таким образом, правильная треугольная призма не имеет центра симметрии.
Ответ: нет, не имеет.

б) Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на угол, меньший $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Правильная треугольная призма имеет 4 оси симметрии.
1. Одна ось симметрии 3-го порядка. Это прямая, проходящая через центроиды (центры) верхнего и нижнего оснований. При повороте вокруг этой оси на угол $120^\circ$ или $240^\circ$ основания призмы (правильные треугольники) переходят сами в себя, а боковые грани циклически меняются местами, в результате чего призма совмещается сама с собой.
2. Три оси симметрии 2-го порядка. Эти оси лежат в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит ровно посередине между ними. Каждая из этих осей проходит через центр призмы (середину отрезка, соединяющего центры оснований) и перпендикулярна одной из боковых граней (т.е. проходит через середины двух противоположных ребер этой грани). При повороте на $180^\circ$ вокруг любой из этих осей призма также совмещается сама с собой.
Ответ: да, имеет 4 оси симметрии (одну 3-го порядка и три 2-го порядка).

в) Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Правильная треугольная призма имеет 4 плоскости симметрии.
1. Одна горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость параллельна основаниям призмы и равноудалена от них (проходит через середину высоты). При отражении относительно этой плоскости верхнее основание отображается на нижнее, а нижнее — на верхнее, при этом боковые грани отображаются сами на себя.
2. Три вертикальные плоскости симметрии. Каждая из этих плоскостей перпендикулярна основаниям и проходит через одну из высот (они же медианы и биссектрисы) основания. Такая плоскость содержит одно из боковых ребер и проходит через середину противолежащей ему боковой грани. При отражении относительно такой плоскости две вершины одного основания и две вершины другого меняются местами, а вершины, лежащие на боковом ребре в этой плоскости, остаются на месте. Каждая такая плоскость делит призму на две зеркально равные части.
Ответ: да, имеет 4 плоскости симметрии (одну горизонтальную и три вертикальные).