Страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.4. На листе бумаги в клетку изобразите октаэдр аналогично данному на рисунке 4.2.

Рис. 4.2

Для построения октаэдра на листе бумаги в клетку, аналогичного изображенному на рисунке, необходимо последовательно выполнить разметку вершин и соединить их рёбрами.

1. Разметка вершин
На листе в клетку нужно отметить 6 ключевых точек (вершин) будущего октаэдра. Для удобства можно отталкиваться от условной центральной точки на пересечении линий сетки (сама эта точка не является вершиной). Примем сторону одной клетки за единицу длины.
• Верхняя вершина: От условного центра отступите на 4 клетки вверх и поставьте точку.
• Нижняя вершина: От условного центра отступите на 4 клетки вниз и поставьте точку.
• Левая вершина: От условного центра отступите на 4 клетки влево и поставьте точку.
• Правая вершина: От условного центра отступите на 4 клетки вправо и поставьте точку.
• Задняя (дальняя) вершина: От условного центра отступите на 2 клетки влево и 1 клетку вверх и поставьте точку.
• Передняя (ближняя) вершина: От условного центра отступите на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз и поставьте точку.

2. Построение рёбер
Теперь необходимо соединить полученные вершины отрезками. Часть рёбер будет видимой (изображаются сплошной линией), а часть — невидимой (изображаются штриховой линией), так как они скрыты за передними гранями фигуры.
• Видимые рёбра (сплошные линии):
– Соедините верхнюю вершину с левой, правой и передней вершинами.
– Соедините нижнюю вершину с левой, правой и передней вершинами.
– Соедините переднюю вершину с левой и правой вершинами.
Всего должно получиться 8 видимых рёбер.
• Невидимые рёбра (штриховые линии):
– Соедините заднюю вершину с верхней, нижней, левой и правой вершинами.
Всего должно получиться 4 невидимых ребра.

В результате выполнения этих шагов на листе в клетку будет изображен октаэдр, идентичный показанному на рисунке.

Ответ: Для построения октаэдра необходимо нанести на лист в клетку 6 вершин согласно указанным относительным координатам и соединить их отрезками: 8 видимых рёбер — сплошной линией и 4 невидимых ребра — штриховой линией.

4.5. На листе бумаги в клетку изобразите икосаэдр аналогично данному на рисунке 4.3.

Рис. 4.3

Для того чтобы изобразить икосаэдр на листе бумаги в клетку аналогично данному на рисунке, необходимо выполнить последовательность шагов. Мы будем использовать систему координат, где узлы сетки соответствуют точкам с целочисленными координатами.

Шаг 1: Разметка вершин

Икосаэдр имеет 12 вершин. В данной проекции они расположены в узлах сетки. Для удобства определим координаты каждой вершины на сетке размером 8x8 клеток, приняв левый нижний узел за начало координат (0, 0).

Отметьте на своей сетке следующие 12 точек:

• Верхняя вершина: A = (4, 7)
• Нижняя вершина: B = (4, 1)
• Вершины верхнего яруса: C = (2, 5), D = (6, 5), E = (4, 6) (задняя)
• Вершины среднего яруса: F = (1, 4), G = (7, 4), H = (3, 4), I = (5, 4)
• Вершины нижнего яруса: J = (2, 3), K = (6, 3), L = (4, 2) (задняя)

Шаг 2: Построение видимых рёбер (сплошные линии)

Видимые рёбра образуют контур фигуры и её передние грани. Соедините следующие пары вершин сплошными линиями:

• Соедините верхнюю вершину A с вершинами C и D.
• Соедините нижнюю вершину B с вершинами J и K.
• Соедините вершины C и D между собой.
• Соедините вершины J и K между собой.
• Соедините вершины C и J с вершинами F и H: отрезки C–F, C–H, J–F, J–H.
• Соедините вершины D и K с вершинами G и I: отрезки D–G, D–I, K–G, K–I.
• Соедините передние вершины среднего яруса: отрезок H–I.

В результате у вас должно получиться 15 сплошных отрезков, формирующих видимую часть икосаэдра.

Шаг 3: Построение невидимых рёбер (штриховые линии)

Невидимые рёбра находятся на задней стороне фигуры. Их следует изображать штриховыми линиями. Соедините следующие пары вершин:

• Соедините заднюю верхнюю вершину E с вершинами A, C, D, H, I.
• Соедините заднюю нижнюю вершину L с вершинами B, F, G, J, K.
• Соедините вершины F и H, а также G и I.

В результате у вас должно получиться 12 штриховых отрезков.

Ответ:

Выполнив все шаги, вы получите точное изображение икосаэдра на клетчатой бумаге, аналогичное приведённому в задании. Фигура будет состоять из 12 вершин, соединённых 15 сплошными и 12 штриховыми линиями, которые образуют 20 треугольных граней (хотя в данной проекции некоторые грани искажены или перекрыты).

4.6. На листе бумаги в клетку изобразите додекаэдр аналогично данному на рисунке 4.4.

Рис. 4.4

4.6. Для того чтобы изобразить додекаэдр на бумаге в клетку, как показано на рисунке 4.4, необходимо последовательно нанести на координатную сетку его вершины и соединить их рёбрами. Будем использовать сетку размером 8x8 клеток, где левый нижний угол — это точка (0,0).

Шаг 1: Построение видимой части фигуры (сплошные линии)

Сначала нарисуем все видимые элементы додекаэдра.

а) Внешний контур:
Отметьте на сетке 7 вершин внешнего контура по их координатам:
• A: (4, 8)
• B: (7, 6)
• C: (8, 3)
• D: (6, 1)
• E: (2, 1)
• F: (0, 3)
• G: (1, 6)
Соедините эти точки сплошными линиями в следующем порядке: A → B → C → D → E → F → G → A.

б) Внутренний видимый пятиугольник:
Отметьте 5 вершин, образующих внутренний пятиугольник:
• H: (4, 6)
• I: (6, 5)
• J: (6, 2)
• K: (2, 2)
• L: (2, 5)
Соедините эти точки сплошными линиями по кругу: H → I → J → K → L → H.

в) Соединительные рёбра:
Проведите сплошные линии, которые соединяют вершины внешнего контура с вершинами внутреннего пятиугольника:
• A(4, 8) — H(4, 6)
• B(7, 6) — I(6, 5)
• C(8, 3) — J(6, 2)
• D(6, 1) — J(6, 2)
• E(2, 1) — K(2, 2)
• F(0, 3) — L(2, 5)
• G(1, 6) — L(2, 5)

Шаг 2: Построение невидимой части фигуры (пунктирные линии)

Теперь добавим рёбра, которые находятся на задней стороне фигуры и поэтому невидимы.

а) Вершины и рёбра задней грани:
Отметьте 5 вершин задней грани:
• M: (4, 4)
• N: (5, 4)
• O: (5, 3)
• P: (3, 3)
• Q: (3, 4)
Соедините эти точки пунктирными линиями по кругу: M → N → O → P → Q → M.

б) Соединительные невидимые рёбра:
Проведите пунктирные линии, соединяющие вершины видимого внутреннего пятиугольника с вершинами задней грани:
• H(4, 6) — M(4, 4)
• I(6, 5) — N(5, 4)
• J(6, 2) — O(5, 3)
• K(2, 2) — P(3, 3)
• L(2, 5) — Q(3, 4)

Ответ:
Выполнив все шаги, вы получите изображение додекаэдра, аналогичное представленному в задании. Итоговый результат на сетке 8x8 показан ниже.

4.7. Сколько тетраэдров изображено на рисунке 4.5?

Рис. 4.5

На рисунке 4.5 изображено известное звёздчатое тело, которое является соединением правильных многогранников. Эта фигура называется соединение пяти тетраэдров.

Тетраэдр — это правильный многогранник, гранями которого являются четыре равносторонних треугольника; его также можно назвать правильной треугольной пирамидой. В изображенной фигуре пять таких одинаковых тетраэдров вложены друг в друга и симметрично расположены вокруг общего центра.

Визуально подсчитать количество тетраэдров очень сложно, так как они взаимно пересекаются и многие их части (грани, рёбра и вершины) оказываются скрытыми внутри общего тела. Однако эта фигура является классическим примером полиэдрального соединения. Вершины этих пяти тетраэдров, общее число которых составляет $5 \times 4 = 20$, совпадают с двадцатью вершинами правильного додекаэдра. Каждый тетраэдр можно мысленно выделить, хотя его грани и будут пересекаться с гранями других четырех тетраэдров.

Следовательно, на рисунке изображено ровно 5 тетраэдров.

Ответ: 5

4.8. Сколько октаэдров изображено на рисунке 4.6?

Рис. 4.6

На рисунке изображено сложное геометрическое тело, которое является полиэдрическим соединением. Полиэдрическое соединение — это фигура, составленная из нескольких многогранников, имеющих общий центр. В данном случае, это соединение состоит из правильных октаэдров.

Правильный октаэдр — это один из пяти платоновых тел, многогранник, у которого 8 граней (являющихся равносторонними треугольниками), 12 рёбер и 6 вершин. Фигура на рисунке, известная как соединение пяти октаэдров, образуется путем размещения пяти одинаковых октаэдров в общем центре и их поворота друг относительно друга таким образом, что вся композиция приобретает икосаэдрическую симметрию (один из высших типов симметрии).

Хотя визуально трудно выделить каждый из пяти октаэдров по отдельности из-за их взаимного пересечения, вся сложная звездообразная структура состоит именно из этих пяти тел. Все видимые треугольные грани на поверхности этого соединения являются частями граней составляющих его октаэдров. Таким образом, на рисунке изображено ровно 5 октаэдров.

Ответ: 5.