Страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.4. В модели треугольной призмы, сделанной из эластичного материала, вырезали одно основание, и оставшиеся грани растянули на плоскости. Сделайте рисунок получившейся сетки.

Треугольная призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными треугольниками, а три другие грани (боковые) — прямоугольниками (или параллелограммами в общем случае). Всего у призмы $5$ граней.

Согласно условию задачи, у модели призмы, сделанной из эластичного материала, вырезали одно треугольное основание. После этого у нас осталась фигура, состоящая из одного треугольного основания и трех прямоугольных боковых граней. Эта фигура имеет $4$ грани.

Чтобы "растянуть на плоскости" (то есть, построить развертку или сетку) оставшиеся грани, нужно мысленно развернуть их. Представим, что мы "разворачиваем" три соединенные боковые грани. Они образуют одну длинную прямоугольную полосу, которая разделена линиями сгиба на три равных прямоугольника.

Оставшееся треугольное основание, которое было соединено с боковыми гранями, останется прикрепленным к одной из сторон одного из этих прямоугольников.

Таким образом, сетка будет представлять собой три прямоугольника, выстроенных в ряд, и один треугольник, примыкающий к одной из сторон (той, которая соответствует стороне основания призмы). Ниже приведен пример такой сетки.

На данном рисунке треугольное основание присоединено к центральному прямоугольнику. Оно также могло быть присоединено к любому из двух крайних прямоугольников. Все эти варианты являются правильными сетками для описанной в задаче фигуры.

Ответ:
Рисунок получившейся сетки представлен выше. Она состоит из трех прямоугольников, соединенных в один ряд, и одного треугольника, который примыкает к одной из сторон одного из прямоугольников.

3.5. В модели четырехугольной пирамиды, сделанной из эластичного материала, вырезали основание, и оставшиеся грани растянули на плоскости. Сделайте рисунок получившейся сетки.

Для решения этой задачи представим себе модель четырехгранной пирамиды. Она состоит из основания в виде четырехугольника и четырех боковых граней в виде треугольников, которые соединяются в одной общей точке — вершине пирамиды.

Первый шаг, описанный в условии, — это вырезание основания. После этого у нас остаются только четыре треугольные боковые грани. Важно понимать, что они остаются соединенными друг с другом по боковым ребрам и все так же сходятся в общей вершине. Конструкция становится похожей на "шатер" или "зонт" без основания.

Второй шаг — растягивание этой конструкции на плоскости. Так как модель сделана из эластичного материала, мы можем это сделать без разрывов. Представим, что мы кладем вершину пирамиды на стол (это будет центральная точка) и растягиваем в разные стороны четыре угла, которые раньше были вершинами основания. Они лягут на плоскость, образовав новый четырехугольник.

В итоге на плоскости получится следующая фигура:

Вершина пирамиды станет точкой на плоскости. Боковые ребра пирамиды станут отрезками, исходящими из этой точки. Вершины основания образуют на плоскости новый четырехугольник, а ребра основания — его стороны. Таким образом, полученная сетка будет представлять собой четырехугольник, разделенный на четыре треугольника отрезками, проведенными из некоторой внутренней точки к его вершинам.

Чтобы сделать рисунок, необходимо:

1. Нарисовать произвольный выпуклый четырехугольник (например, квадрат или трапецию). Обозначим его вершины A, B, C, D.

2. Внутри этого четырехугольника поставить точку S, которая символизирует вершину пирамиды.

3. Соединить точку S отрезками с каждой из вершин четырехугольника: A, B, C и D.

Получившаяся фигура и будет являться искомой сеткой.

Ответ: Итоговый рисунок представляет собой четырехугольник, из точки внутри которого проведены отрезки к каждой из его вершин. В результате четырехугольник оказывается разделен на четыре треугольника с общей вершиной в этой внутренней точке.

3.6. Для сеток, изображенных на рисунке 3.4, укажите соответствующий многогранник.

а)

б)

Рис. 3.4

а) Изображение представляет собой проекцию многогранника на плоскость (диаграмму Шлегеля). В центре видна шестиугольная грань, которая окружена шестью четырехугольными гранями. Внешний контур, также являющийся шестиугольником, представляет собой еще одну грань (основание). Таким образом, многогранник состоит из двух параллельных шестиугольных граней и шести боковых четырехугольных граней. Эта структура соответствует шестиугольной призме.
Проведем подсчет элементов многогранника:
- Количество вершин (В): 6 вершин на внутреннем шестиугольнике и 6 на внешнем, итого $В = 12$.
- Количество ребер (Р): 6 ребер у внутреннего шестиугольника, 6 ребер у внешнего и 6 ребер, соединяющих соответствующие вершины, итого $Р = 6 + 6 + 6 = 18$.
- Количество граней (Г): 2 шестиугольные грани (внутренняя и внешняя) и 6 четырехугольных боковых граней, итого $Г = 2 + 6 = 8$.
Проверим соотношение по формуле Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$.
$12 - 18 + 8 = 2$.
Соотношение выполняется, что подтверждает наш вывод.
Ответ: Шестиугольная призма.

б) Данное изображение также является проекцией многогранника. Мы видим 5 треугольных граней, которые сходятся в одной общей вершине (в центре). Внешний контур представляет собой пятиугольник, который является основанием многогранника. Такая структура, состоящая из многоугольного основания и треугольных боковых граней, сходящихся в одной вершине (апексе), характерна для пирамиды. В данном случае это пятиугольная пирамида.
Проведем подсчет элементов многогранника:
- Количество вершин (В): 1 центральная вершина (апекс) и 5 вершин в основании, итого $В = 1 + 5 = 6$.
- Количество ребер (Р): 5 ребер в основании и 5 боковых ребер, соединяющих вершины основания с апексом, итого $Р = 5 + 5 = 10$.
- Количество граней (Г): 1 пятиугольная грань (основание) и 5 треугольных боковых граней, итого $Г = 1 + 5 = 6$.
Проверим соотношение по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 2$.
$6 - 10 + 6 = 2$.
Соотношение выполняется, что подтверждает наш вывод.
Ответ: Пятиугольная пирамида.

3.7 Проверьте, выполняется ли равенство Эйлера для многогранников, изображенных на рисунке 3.5.

а)

б)

Рис. 3.5

Равенство (или формула) Эйлера для многогранников, топологически эквивалентных сфере (то есть не имеющих сквозных отверстий), связывает число их вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) следующим соотношением: $В - Р + Г = 2$. Проверим, выполняется ли это равенство для заданных многогранников.

а)

Для многогранника, изображенного на рисунке а), подсчитаем количество вершин, рёбер и граней. Эту фигуру можно рассматривать как результат соединения двух прямоугольных параллелепипедов по одной из их граней.

Число вершин (В): У каждого исходного параллелепипеда 8 вершин. При их соединении вдоль одной общей грани, 4 вершины этой грани становятся общими для двух частей. Следовательно, общее число вершин: $В = 8 + 8 - 4 = 12$.

Число граней (Г): У каждого параллелепипеда по 6 граней. При соединении две грани (по одной от каждого) "склеиваются" и перестают быть внешними гранями итоговой фигуры. Таким образом, общее число граней: $Г = 6 + 6 - 2 = 10$.

Число рёбер (Р): У каждого параллелепипеда по 12 рёбер. При соединении 4 ребра, принадлежащие общей грани, также становятся общими. Общее число рёбер: $Р = 12 + 12 - 4 = 20$.

Теперь проверим выполнение равенства Эйлера, подставив найденные значения:

$В - Р + Г = 12 - 20 + 10 = -8 + 10 = 2$.

Равенство выполняется.

Ответ: для многогранника а) равенство Эйлера выполняется, так как $12 - 20 + 10 = 2$.

б)

Для многогранника на рисунке б) также проведем подсчет. Эту фигуру можно представить как большой прямоугольный параллелепипед, из которого сверху вырезан сквозной "жёлоб", также имеющий форму прямоугольного параллелепипеда.

Число вершин (В): Подсчитаем вершины по уровням. На нижнем основании 4 вершины. На верхнем сложном контуре (включая "жёлоб") имеется 8 вершин. Итого: $В = 4 + 8 = 12$.

Число граней (Г): Подсчитаем все плоские поверхности. Нижняя грань (1), передняя и задняя (2), левая и правая боковые (2). Верхняя поверхность состоит из двух площадок и дна жёлоба (3). Боковые стенки жёлоба (2). Итого: $Г = 1 + 2 + 2 + 3 + 2 = 10$.

Число рёбер (Р): Подсчитаем рёбра по группам. В основании 4 ребра. Вертикальных рёбер 8 (4 по внешним углам и 4 по внутренним углам жёлоба). На верхнем контуре также 8 рёбер. Итого: $Р = 4 + 8 + 8 = 20$.

Проверим равенство Эйлера для этой фигуры:

$В - Р + Г = 12 - 20 + 10 = -8 + 10 = 2$.

Равенство выполняется.

Ответ: для многогранника б) равенство Эйлера выполняется, так как $12 - 20 + 10 = 2$.

3.8. Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой призмы?

Да, соотношение Эйлера выполняется для любой невыпуклой призмы. Это связано с тем, что формула Эйлера является топологической характеристикой, и для всех простых многогранников (то есть многогранников без сквозных отверстий, поверхность которых гомеоморфна сфере) она справедлива. Невыпуклые призмы, если их основания являются простыми многоугольниками (без самопересечений), относятся именно к такому классу многогранников.

Соотношение Эйлера для многогранников имеет вид: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число ребер, а $Г$ — число граней.

Давайте проверим это утверждение на примере произвольной $n$-угольной призмы. Невыпуклой она будет, если в ее основании лежит невыпуклый $n$-угольник. Подсчитаем количество ее элементов:
Вершины (В): У призмы два основания, каждое из которых является $n$-угольником. Следовательно, у каждого основания по $n$ вершин. Общее число вершин: $В = 2n$.
Ребра (Р): Каждое из двух оснований имеет по $n$ ребер. Кроме того, есть $n$ боковых ребер, соединяющих соответствующие вершины оснований. Общее число ребер: $Р = n + n + n = 3n$.
Грани (Г): Призма имеет два основания (верхнее и нижнее) и $n$ боковых граней (являющихся параллелограммами). Общее число граней: $Г = n + 2$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = (2n) - (3n) + (n + 2) = 2n - 3n + n + 2 = 2$

Как видно из вычислений, результат равен 2 и не зависит ни от числа сторон многоугольника в основании ($n$), ни от того, является ли этот многоугольник выпуклым или невыпуклым. Таким образом, формула верна для любой призмы, основание которой является простым многоугольником.

Ответ: да, выполняется.

3.9. Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды?

Соотношение Эйлера для многогранников, которые гомеоморфны сфере (то есть для простых многогранников без «дырок» и самопересечений), гласит, что $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, а $Г$ — число граней.

Рассмотрим произвольную невыпуклую пирамиду. Пирамида является невыпуклой, если в её основании лежит невыпуклый многоугольник. Пусть в основании нашей пирамиды лежит невыпуклый $n$-угольник (где $n \ge 4$, поскольку любой треугольник является выпуклым).

Подсчитаем количество вершин, рёбер и граней такой пирамиды.

1. Число вершин (В): Основание имеет $n$ вершин. Кроме того, есть одна вершина — апекс (вершина пирамиды), не лежащая в плоскости основания. Таким образом, общее число вершин составляет:
$В = n + 1$.

2. Число рёбер (Р): Основание имеет $n$ рёбер. Также имеется $n$ боковых рёбер, которые соединяют каждую вершину основания с апексом. Таким образом, общее число рёбер составляет:
$Р = n + n = 2n$.

3. Число граней (Г): Имеется одна грань в основании (это наш невыпуклый $n$-угольник) и $n$ боковых граней, каждая из которых является треугольником. Таким образом, общее число граней составляет:
$Г = 1 + n$.

Теперь подставим полученные значения в формулу Эйлера ($В - Р + Г$):
$(n + 1) - (2n) + (1 + n) = n + 1 - 2n + 1 + n = (n - 2n + n) + (1 + 1) = 0 + 2 = 2$.

Полученное значение равно 2, что соответствует формуле Эйлера. Следовательно, соотношение Эйлера выполняется для любой пирамиды, независимо от того, является ли она выпуклой или невыпуклой. Это обусловлено тем, что любая пирамида (как и любой выпуклый многогранник) является простым многогранником, топологически эквивалентным сфере, а для всех таких многогранников формула Эйлера верна. Геометрическое свойство выпуклости не влияет на это фундаментальное топологическое соотношение.

Ответ: Да, соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды выполняется.

3.10. Найдите число вершин, ребер и граней для многогранника, изображенного на рисунке 3.6. Выполняется ли для него соотношение Эйлера?

Рис. 3.6

Для решения задачи необходимо последовательно посчитать количество вершин, ребер и граней у многогранника, изображенного на рисунке, а затем проверить для него справедливость соотношения Эйлера. Данный многогранник является усеченной четырехугольной пирамидой.

Найдите число вершин, ребер и граней

1. Вершины (В): У многогранника есть два основания — верхнее и нижнее. Каждое основание является четырехугольником и имеет по 4 вершины. Таким образом, общее число вершин составляет: $В = 4 \text{ (на верхнем основании)} + 4 \text{ (на нижнем основании)} = 8$.

2. Ребра (Р): Посчитаем ребра. Верхнее основание имеет 4 ребра, нижнее основание также имеет 4 ребра. Кроме того, 4 боковых ребра соединяют вершины верхнего и нижнего оснований. Итоговое число ребер: $Р = 4 + 4 + 4 = 12$.

3. Грани (Г): Многогранник ограничен гранями. У него есть 1 верхняя грань (основание), 1 нижняя грань (основание) и 4 боковые грани. Общее число граней: $Г = 1 + 1 + 4 = 6$.

Ответ: число вершин — 8, число ребер — 12, число граней — 6.

Выполняется ли для него соотношение Эйлера?

Соотношение (или формула) Эйлера для выпуклых многогранников гласит, что число вершин минус число ребер плюс число граней всегда равно двум. Формула имеет вид: $В - Р + Г = 2$.

Подставим найденные значения в эту формулу:

$В = 8$

$Р = 12$

$Г = 6$

Проведем вычисление: $8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$.

Поскольку результат вычисления $2$ совпадает с правой частью формулы Эйлера ($2=2$), соотношение выполняется.

Ответ: да, для данного многогранника соотношение Эйлера выполняется.

3.11. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится четыре треугольника. Сколько у него вершин ($B$), ребер ($P$), граней ($\Gamma$)?

Для решения этой задачи обозначим количество вершин многогранника как В, количество ребер как Р, и количество граней как Г. Используя условия, данные в задаче, и свойства выпуклых многогранников, составим систему уравнений.

По условию, все грани многогранника являются треугольниками. У каждого треугольника 3 ребра. Если мы просуммируем рёбра по всем граням, получим $3 \times Г$. Поскольку каждое ребро принадлежит двум граням, эта сумма равна удвоенному количеству ребер многогранника. Отсюда получаем первое соотношение: $3Г = 2Р$.

Также по условию, в каждой вершине сходится четыре треугольника, что означает, что в каждой вершине сходятся и четыре ребра. Если просуммировать рёбра по всем вершинам, получим $4 \times В$. Так как каждое ребро соединяет ровно две вершины, эта сумма также равна удвоенному количеству ребер. Отсюда получаем второе соотношение: $4В = 2Р$, или $Р = 2В$.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера, которая связывает число его вершин, ребер и граней: $В - Р + Г = 2$.

Теперь у нас есть система из трех уравнений для нахождения В, Р и Г:
1) $3Г = 2Р$
2) $Р = 2В$
3) $В - Р + Г = 2$

Выразим В и Г через Р из первых двух уравнений. Из (2) имеем $В = \frac{Р}{2}$. Из (1) имеем $Г = \frac{2Р}{3}$. Подставим эти выражения в формулу Эйлера (3):
$\frac{Р}{2} - Р + \frac{2Р}{3} = 2$

Для решения уравнения относительно Р приведем левую часть к общему знаменателю 6:
$\frac{3Р}{6} - \frac{6Р}{6} + \frac{4Р}{6} = 2$
$\frac{3Р - 6Р + 4Р}{6} = 2$
$\frac{Р}{6} = 2$

Теперь мы можем найти значения для В, Р и Г.

(Р): Из последнего уравнения $\frac{Р}{6} = 2$ находим количество ребер: $Р = 6 \times 2 = 12$.
Ответ: 12 ребер.

(В): Используем соотношение $В = \frac{Р}{2}$. Подставив найденное значение $Р = 12$, получаем количество вершин: $В = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: 6 вершин.

(Г): Используем соотношение $Г = \frac{2Р}{3}$. Подставив $Р = 12$, получаем количество граней: $Г = \frac{2 \times 12}{3} = \frac{24}{3} = 8$.
Ответ: 8 граней.